Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．正方形OABC的邊長是4，點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，以每秒2個(gè)單位長度的速度在線段AB上來回運(yùn)動．動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→O的方向．以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t．△OPQ的面積為S．
（I）當(dāng)t=1時(shí)，S=

5

．
（2）當(dāng)0≤t≤2時(shí)．求滿足△BPQ的面積有最大值的P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）在P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使用S=6？若存在．請直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析：（1）△OPQ的面積=正方形的面積-△OAP的面積-△OCQ的面積-△BPQ的面積，依此列式計(jì)算即可求解；
（2）由題意得，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．根據(jù)三角形面積可得△BPQ的面積=-（t-1）²+1，
依此即可求解；
（3）分當(dāng)0≤t≤2時(shí)，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，當(dāng)4＜t＜8時(shí)，三種情況討論可求符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，AP=2，BQ=1，則BP=2，CQ=3，
△OPQ的面積=4×4-

1

2

×4×2-

1

2

×4×3-

1

2

×2×1=16-4-6-1=5；

（2）由題意得，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．
△BPQ的面積=

1

2

PB•BQ=

1

2

t（4-2t）=-t²+2t=-（t-1）²+1，
故當(dāng)t=1時(shí)，△BPQ的面積的最大值是1．
此時(shí)，P（2，4）、Q（4，3）．

（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PA=2t，PB=4-2t，BQ=t，CQ=4-t．
S=4×4-

1

2

×4×2t-

1

2

t（4-2t）-

1

2

×4（4-t）=6，
解得t₁=2-

2

，t₂=2+

2

（不合題意舍去），
P點(diǎn)坐標(biāo)為（4-2

2

，4）；
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，OQ=4-t．
S=4×4-

1

2

×4×（8-2t）-

1

2

t（2t-4）-

1

2

×4（4-t）=6，
解得t₁=4-

2

，t₂=4+

2

（不合題意舍去），
P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

2

，4）；
當(dāng)4＜t＜8時(shí)，OQ=8-t．
S=

1

2

×4（8-t）=6，
解得t=5，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4-2

2

，4）；（2

2

，4）；（2，4）．
故答案為：5．

點(diǎn)評：考查了相似形綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：正方形的面積，三角形面積，二次函數(shù)的最值，分類思想的運(yùn)用，（3）問的難度較大．