Question

7．學(xué)生小李在暑假進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，準(zhǔn)備采購(gòu)一批學(xué)習(xí)用品進(jìn)行銷售，進(jìn)貨時(shí)老板告訴小李，每件商品可以優(yōu)惠2元，這樣原價(jià)330元的商品現(xiàn)在可以多買1件還余10元．
（1）小李現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種學(xué)習(xí)用品的單價(jià)是多少元？
（2）若這種學(xué)習(xí)用品的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足如足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）小李應(yīng)該將這種學(xué)習(xí)用品的銷售單價(jià)定為多少時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨金額）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，即可求得小李現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種學(xué)習(xí)用品的單價(jià)是多少元；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（20，40），（35，10），從而可以求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意可以列出獲得利潤(rùn)的關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式即可求得小李應(yīng)該將這種學(xué)習(xí)用品的銷售單價(jià)定為多少時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少．

解答 解：（1）設(shè)小李原來(lái)購(gòu)進(jìn)這種學(xué)習(xí)用品的單價(jià)是x元，
$\frac{330}{x}=\frac{330-10}{x-2}-1$
解得x₁=22，x₂=-30（舍去）
經(jīng)檢驗(yàn)，x=22是原方程的解，
所以，小李實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種學(xué)習(xí)用品的單價(jià)是x-2=20元，
即小李現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種學(xué)習(xí)用品的單價(jià)是20元；
（2）設(shè)銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）的函數(shù)解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{40=20k+b}\\{10=35k+b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=80}\end{array}\right.$
即銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）的函數(shù)解析式是：y=-2x+80；
（3）設(shè)小李獲得的利潤(rùn)為w，由題意可得，
w=（x-22）（-2x+80）=-2x²+124x-1760=-2（x-31）²+162，
故當(dāng)x=31時(shí)，小李可以取得最大利潤(rùn)162元，
即小李應(yīng)該將這種學(xué)習(xí)用品的銷售單價(jià)定為31元時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是162元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、解分式方程、二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，注意分式方程要檢驗(yàn)．