Question

（2010•河北）觀察思考：
某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動(dòng)，在Q滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng)，并且PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng)．在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H，并測(cè)得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．
解決問(wèn)題：
（1）點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最小距離是______分米；點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最大距離是______分米；點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是______分米；
（2）如圖3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位置時(shí)，PQ與⊙O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？
為什么？
（3）①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最�。�”事實(shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)P到l的距離是______分米；
②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃�，求這個(gè)扇形面積最大時(shí)圓心角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)OQ最小時(shí)，Q、H重合，此時(shí)OQ=OH=4；當(dāng)O、Q的距離最大時(shí)，O、P、Q三點(diǎn)共線，此時(shí)OQ=OP+PQ=5；當(dāng)O、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，在Rt△OQH中，由勾股定理可求得QH=3，那么點(diǎn)Q在l上的最大滑動(dòng)距離為2QH=6．
（2）顯然不對(duì)，當(dāng)Q、H重合時(shí)，OP=2、PQ=3、OQ=4，顯然構(gòu)不成直角三角形，故PQ與⊙O不相切．
（3）①當(dāng)P到直線l的距離最長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)最大距離為PQ=3，此時(shí)PQ⊥直線l；
②當(dāng)P到直線l的距離最大時(shí)，OP無(wú)法再向下擺動(dòng)，若設(shè)點(diǎn)P擺動(dòng)的兩個(gè)極限位置為P、P′，連接PP′，則四邊形PQ′QP是矩形，設(shè)OH與PP′交于點(diǎn)D，那么PQ′=DH=PQ=3，則OD=OH-DH=1，在Rt△OPD中，OP=2，OD=1，則∠POD=60°，∠POP′=120°，由此得解．
解答：解：（1）4，5，6；

（2）不對(duì)．
∵OP=2，PQ=3，OQ=4，且4²≠3²+2²，即OQ²≠PQ²+OP²，
∴OP與PQ不垂直．∴PQ與⊙O不相切．

（3）①因?yàn)镻Q的值永遠(yuǎn)是3，只有PQ⊥l時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，此時(shí)最大的距離是3分米；
②由①知，在⊙O上存在點(diǎn)P，P'到l的距離為3，此時(shí)，OP將不能再向下轉(zhuǎn)動(dòng)，
如圖．OP在繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的最大扇形就是P'OP．
連接P'P，交OH于點(diǎn)D，
∵PQ，P'Q'均與l垂直，且PQ=P'Q'=3，
∴四邊形PQQ'P'是矩形，
∴OH⊥PP'，PD=P'D．
由OP=2，OD=OH-HD=1，得∠DOP=60°．
∴∠POP'=120°．
∴所求最大圓心角的度數(shù)為120°．
點(diǎn)評(píng)：此題結(jié)合實(shí)際問(wèn)題考查了數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：勾股定理、切線的判定、矩形的判定和性質(zhì)、垂徑定理等重要知識(shí)．