Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)以及點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$），圓P與直線l相切于點(diǎn)A，若圓P沿直線l滾動(dòng)一周，點(diǎn)A恰好與原點(diǎn)重合，此時(shí)圓心位于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （$\frac{1}{2π}，-\frac{\sqrt{3}}{π}$）
• B． （$\frac{1}{π}，-\frac{\sqrt{3}}{π}$）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2π}，-\frac{1}{2π}$）

Answer 1

分析 連接PA、QO，則四邊形AOQP是矩形，得出QO=PA，PQ=OA，∠AOQ=90°，由A的坐標(biāo)得出∠AOx=60°，由勾股定理得出PQ=OA=2，由圓的周長(zhǎng)得出2π•OQ=2，求出OQ，作QM⊥x軸于M，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出QM=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{1}{2π}$，求出OM=$\sqrt{3}$QM，即可得出結(jié)果．

解答 解：連接PA、QO、OQ，如圖所示：
則四邊形AOQP是矩形，
∴QO=PA，PQ=OA，∠AOQ=90°，
∵A（1，$\sqrt{3}$），
∴∠AOx=60°，PQ=OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵圓P沿直線l滾動(dòng)一周，點(diǎn)A恰好與原點(diǎn)重合，
∴2π•OQ=2，
解得：OQ=$\frac{1}{π}$，
作QM⊥x軸于M，
∵∠QOM=90°-60°=30°，
∴QM=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{1}{2π}$，
∴OM=$\sqrt{3}$QM=$\frac{\sqrt{3}}{2π}$，
∴Q的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2π}$，-$\frac{1}{2π}$）；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，由勾股定理求出OQ是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．