Question

判斷下列命題的真假性：

（1）一組對(duì)角相等，且一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；

（2）一組對(duì)邊相等且對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；

（3）一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形；

（4）一組鄰邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；

（5）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；

（6）一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。

假命題舉出反例，真命題進(jìn)行證明。

 

Answer 1

答案：
解析：

如圖，看（2）（3）（4）（5）（6）的反例，它們都是假命題。 看（1）設(shè)四邊形ABCD、ÐA=ÐC，對(duì)角線相交于O、且OB=OD。 求證：ABCD為平行四邊形。 證明：∵ OB=OD，ÐA=ÐC， ∴ 以O為中心，將DABD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°。 ∴ B點(diǎn)與D點(diǎn)結(jié)合。 又∵ AOC為直線，∴ A點(diǎn)落在射線OC上的C¢點(diǎn)。 而C¢點(diǎn)可能在OC上，也可能在OC的延長(zhǎng)線上，也可能與C點(diǎn)結(jié)合。 假定C¢落在OC上，由于ÐA=ÐB¢CD而ÐOC¢B>ÐOCB，ÐOC¢D>ÐOCD， 即ÐBC¢D>ÐOCB+ÐOCD=ÐC，從而出現(xiàn)ÐA>ÐC這與題設(shè)ÐA=ÐC矛盾。 同理可證：C¢落在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，出現(xiàn)ÐA<ÐC， 也與題設(shè)ÐA=ÐC矛盾， ∴ C¢與C點(diǎn)重合，即：A與C重合。