Question

如圖，△ABC為等邊三角形，P為BC上一點(diǎn)，△APQ為等邊三角形．有下列結(jié)論：
①AB∥CQ；②AQ與CQ互相垂直；③△APC∽△QCP；④△ABP≌△ACQ．
其中正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根據(jù)SAS證△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根據(jù)平行線的判定推出即可，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠BAP=30°，求出∠BAQ=90°，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠AQC=90°，即可得出答案．

解答：證明：∵△ABC和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），故④正確，
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，
∴AB∥CQ，故①正確，
人喲AQ與CQ能互相垂直，此時(shí)點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)，
理由如下：
∵當(dāng)P為BC邊中點(diǎn)時(shí)，∠BAP=

1

2

∠BAC=30°，
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°，
又∵AB∥CQ，
∴∠AQC=90°，
即AQ⊥CQ，而此題沒(méi)說(shuō)明P為BC中點(diǎn)，故②不正確，
△APC和△QCP中只有一對(duì)對(duì)頂角相等，所以不可能判定這兩個(gè)三角形相似，故③錯(cuò)誤，
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．