Question

20．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求直線DB的解析式；
（3）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
（4）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后化為頂點(diǎn)式求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線DB的解析式為y=kx+b，把B，D點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入即可求出直線的解析式；
（3）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m代入直線BD的解析式，即可用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
（4）本問關(guān)鍵是求出四邊形PMAC面積的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)求極值的方法求出面積的最大值，并求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），
又∵拋物線 與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
∴a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3），
即拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
（2）設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b
由B（3，0），D（1，4）得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直線BD的解析式為y=-2x+6；
（3）∵點(diǎn)P在直線PD上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：-2m+6；
（4）由以上可知：OA=1，OC=3，OM=m，PM=-2m+6，
∴S_{四邊形PMAC}=S_△OAC+S_梯形OMPC
=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$（3-2m+6）•m，
=-m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{3}{2}$，
=-（m-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{105}{16}$
∵1＜$\frac{9}{4}$＜3，a=-1＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{9}{4}$時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為$\frac{105}{16}$，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的極值、圖形面積的求法、涉及考點(diǎn)眾多，對學(xué)生的綜合性解題能力要求挺高，題目的難度中等．