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已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥AD，BC = CD，BE⊥CD，垂足為點E，點F在BD上，聯結AF、EF．

（1）求證：AD = ED；

（2）如果AF // CD，求證：四邊形ADEF是菱形．

 


證明：（1）∵  BC = CD，∴  ∠CDB =∠CBD．

∵  AD // BC，∴  ∠ADB =∠CBD．

∴  ∠ADB =∠CDB．

又∵  AB⊥AD，BE⊥CD，∴  ∠BAD =∠BED = 90°．

于是，在△ABD和△EBD中，

∵  ∠ADB =∠CDB，∠BAD =∠BED，BD = BD，

∴  △ABD≌△EBD．

∴  AD = ED．

（2）∵  AF // CD，∴  ∠AFD =∠EDF．

∴  ∠AFD =∠ADF，即得  AF = AD．

又∵  AD = ED，∴  AF = DE．

于是，由  AF // DE，AF = DE，

得四邊形ADEF是平行四邊形．又∵  AD = ED，

∴  四邊形ADEF是菱形．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：2011年河南省周口市初一下學期相交線與平行線專項訓練 題型：解答題

如圖，以Rt△ABO的直角頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=4，OB=3，一動點P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個

單位長度的速度向A點勻速運動，到達A點后立即以原速沿AO返回；點Q從A點出發(fā)

沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動．當Q到達B時，P、Q兩點同時停止

運動,設P、Q運動的時間為t秒(t＞0)．

(1) 試求出△APQ的面積S與運動時間t之間的函數關系式；

(2) 在某一時刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點A恰好落在AB邊的點D處，如圖①．

求出此時△APQ的面積．

(3) 在點P從O向A運動的過程中，在y軸上是否存在著點E使得四邊形PQBE為等腰梯

形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

(4) 伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D，交折線QB－BO－OP于點F． 當DF經過原點O時，請直接寫出t的值．

 

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科目：初中數學 來源：2011年河南省周口市初一下學期平移專項訓練 題型：解答題

如圖，以Rt△ABO的直角頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=4，OB=3，一動點P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個

單位長度的速度向A點勻速運動，到達A點后立即以原速沿AO返回；點Q從A點出發(fā)

沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動．當Q到達B時，P、Q兩點同時停止

運動,設P、Q運動的時間為t秒(t＞0)．

(1) 試求出△APQ的面積S與運動時間t之間的函數關系式；

(2) 在某一時刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點A恰好落在AB邊的點D處，如圖①．

求出此時△APQ的面積．

(3) 在點P從O向A運動的過程中，在y軸上是否存在著點E使得四邊形PQBE為等腰梯

形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

(4) 伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D，交折線QB－BO－OP于點F． 當DF經過原點O時，請直接寫出t的值．

 

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