Question

15．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．
（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）分三種情況：①BC=BD時，由勾股定理列式求出AB，由平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；
②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，證出四邊形AGCB是矩形，由矩形的對邊相等得AG=BC=3，求出DG=2，由勾股定理列式求出CG，由平行四邊形的面積列式計算即可；
③BD=CD時，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．

解答 （1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC與△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DFE}&{\;}\\{∠BEC=∠FED}&{\;}\\{CE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE=FE，
又∵E是邊CD的中點，
∴CE=DE，
∴四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）解：分三種情況：①BC=BD=30cm時，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}-1{0}^{2}}$=20$\sqrt{2}$（cm），
∴四邊形BDFC的面積=30×20$\sqrt{2}$=600$\sqrt{2}$（cm²）；
②BC=CD=30時，過點C作CG⊥AF于G，如圖所示：
則四邊形AGCB是矩形，
∴AG=BC=30，
∴DG=AG-AD=30-10=20，
由勾股定理得，CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}-2{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
∴四邊形BDFC的面積=30×10$\sqrt{5}$=300$\sqrt{5}$；
③BD=CD時，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=20，矛盾，此時不成立；
綜上所述，四邊形BDFC的面積是600$\sqrt{2}$cm²或300$\sqrt{5}$cm²．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）難點在于分情況討論．