Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A和C的坐標(biāo)分別為（8，0）和（5，4），過點C作CB⊥y軸于點B，點D從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度延BO向終點O運動，點P從C出發(fā)，以每秒a（0＜a≤1.25）個單位的速度延CB向終點B運動（當(dāng)D點到達(dá)O點，P點也隨之停止）．過D作DE∥AC交OA于點E，過P作PQ∥AC交OA于點，連接PD，再過E作EF∥PD交PQ于F．設(shè)P、D兩點的運動時間為t．
（1）分別求過A、C兩點的直線和過B、C、A三點的拋物線的解析式；
（2）若a=1，求t為何值時，四邊形DEFP為矩形？并求出此時直線PQ的解析式；
（3）是否存在這樣的a，t的值，使四邊形DEFP為正方形？若存在，求出此時a，t的值和正方形的面積；若不存在，說明理由；
（4）以A、O、C為頂點的△AOC中，M是AC上一動點，過M作MN∥OA交OC于N，試問，在x軸上是否存在點R，使得△MNR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A、B、C三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法能確定直線AC與拋物線的解析式．
（2）首先表示出BP、BD、OD、OE四邊的長，若四邊形DEFP為矩形，那么必須滿足的條件是∠PDE是直角，此時△PBD、△DOE相似，可據(jù)此求出t的值，在求出BP的長以及點P的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法即可求出直線PQ的解析式（直線PQ與直線AC平行，那么它們的斜率相同，在設(shè)直線解析式時可利用這個特點）．
（3）方法同（2），不過由四邊形DEFP為正方形得出的條件變?yōu)椤鱌BD、△DOE全等，首先由BD=OE求出t的值，再由OD=BP求出a的值；進(jìn)一步能得到DP、DE的長，由此求得正方形的面積．
（4）此題需要注意兩方面：
①線段MN是底邊（此時線段MN的長是點M縱坐標(biāo)的2倍）；②線段MN為腰（此時線段MN的長等于點M的縱坐標(biāo)）；
解法大致相同，首先設(shè)出點M或N的縱坐標(biāo)，利用△CMN、△CAO相似，求出這個縱坐標(biāo)，再利用直線OC、直線AC解析式確定出點M、N的坐標(biāo)后，即可得到點P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，依題意，有：
，解得
∴直線AC：y=-x+．
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，依題意，有：
，解得
∴拋物線：y=-x²+x+c．

（2）過點B作BS∥AC，交x軸于點S，則AS=BC=5，OR=3，∴tan∠OBS=tan∠ODE=．
BP=BC-CP=5-at=5-t，BD=t，OD=OB-BD=4-t，OE=OD=3-t；
由題意，四邊形DEFP是平行四邊形，若四邊形DEFP是矩形，所以∠PDE=90°；
∵∠PDB=∠DEO=90°-∠ODE，∠PBD=∠DOE=90°，
∴△PBD∽△DOE，得
即：=，解得 t=，則P（，4）；
由于直線PQ∥AC，設(shè)直線PQ：y=-x+b，代入點P，得：
-×+b=4，解得 b=
∴若a=1，當(dāng)t=時，四邊形DEFP為矩形；此時直線PQ的解析式：y=-x+．

（3）同（2）可求得：△PBD≌△DOE，則 BD=OE，BP=OD；
∴，解得
由題意，此時a的值不在0＜a≤1.25的范圍內(nèi)，所以不存在符合條件的a、t值．

（4）易求得：直線OC：y=x；直線AC：y=-x+．
設(shè)點M、N的縱坐標(biāo)為m，分兩種情況討論：
（Ⅰ）線段MN為等腰Rt△MNR的底邊，則 MN=2m；
由MN∥OA，得：=，解得 m=2；
∴M（，2）、N（，2）
∴點R（，0）．
（Ⅱ）線段MN為等腰Rt△MNR的腰，則 MN=m；
由MN∥OA，得：=，解得 m=
∴M（6，）、N（，）
①當(dāng)點N是直角頂點時，NR⊥x軸，點R（，0）；
②當(dāng)點M是直角頂點時，MR⊥x軸，點R（6，0）；
綜上，存在符合條件的點R，且坐標(biāo)為（，0）、（，0）、（6，0）．

點評：此題考查的是動點函數(shù)問題，主要涉及了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、矩形和正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；其中還穿插了全等、相似三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用；綜合性很強(qiáng)．在解答這道題時，對圖示的理解很重要，著重體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性．