Question

已知在等邊△ABC中，D、E、F、G、H、L是三邊的三等分點．求證：六邊形DEFGHL是正六邊形．

Answer 1

考點：正多邊形和圓,等邊三角形的性質

專題：證明題

分析：先由等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=a，再根據(jù)三等分點的意義可得AD=DE=BE=BF=FG=GC=CH=HL=AL=

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a，由AD=AL及∠A=60°判定△ADL是等邊三角形，那么DL=AD=AL=

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a，∠ADL=∠ALD=60°，進而得出六邊形DEFGHL的各條邊都相等，各個角也相等，從而判定六邊形DEFGHL是正六邊形．

解答：證明：設△ABC的邊長為a．
如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=a，
∵D、E、F、G、H、L是三邊的三等分點，
∴AD=DE=BE=BF=FG=GC=CH=HL=AL=

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a，
∴△ADL是等邊三角形，
∴DL=AD=AL=

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a，∠ADL=∠ALD=60°，
同理EF=GH═

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a，∠BEF=∠BFE=60°，∠CGH=∠CHG=60°，
∴DL=DE=EF=FG=GH=HL=

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a；∠LDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHL=∠HLD=180°-60°=120°，
∴六邊形DEFGHL是正六邊形．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質，正六邊形的判定，難度適中．掌握正六邊形的定義是解題的關鍵．