Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，，將點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱得到點(diǎn)D，作射線BD與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，在CB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使得BF=DE，連接AF.

備用圖

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：AF=AE；

（3）作BA的延長(zhǎng)線與FD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，寫出一個(gè)∠ACB的值，使得AP=AF成立，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）∠ACB=54°.證明見解析.

【解析】

根據(jù)題意敘述畫出圖形即可.

(2)由對(duì)稱可得，DB=BC，∠ABD=∠ABC，再由等量加等量仍是等量可得

BE=CF，易證△ABE ≌ △ACF（SAS），所以 AE=AF.

(3) ∠ACB=54°.由對(duì)稱和(2)中已證的全等三角形推理可得.

（1）如圖所示

2）證明：∵ 點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AB對(duì)稱，

∴ DB=BC，∠ABD=∠ABC.

∵ DE=BF，

∴ DE+BD=BF+BC.

∴ BE=CF.

∵ AB=AC，

∴ ∠ABC=∠C.

∴ ∠ABD=∠C.

∴ △ABE ≌ △ACF（SAS）.

∴ AE=AF.

（3）∠ACB=54°.

證明：如圖，

∵ AB=AC，

∴ ∠ABC=∠ACB=54°.

∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°.

∵ 點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AB對(duì)稱，

∴ ∠DAB=∠BAC=72°，∠ADB=∠C=54°，AD=AB=AC.

∴ ∠DAE=180°-∠DAB-∠BAC=36°，

∴ ∠E=∠ADB-∠DAE=18°.

∵ 由（2）得，△ABF ≌ △ADE（或者△ACF ≌ △ABE），

∴ ∠AFB=∠E=18°.

∴ ∠BAF=∠ABC-∠AFB=36°=∠BAD.

∵ AB=AD，

∴ AF垂直平分BD.

∴ FB=FD.

∴ ∠AFD=∠AFB=18°，

∴ ∠P=∠BAF-∠AFD=18°=∠AFD，

∴ AP=AF.

∵ 由（2）得AE=AF，

∴ AP=AE.