Question

如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，9）的拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0）、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，過A、B、C三點(diǎn)的⊙O′交y軸于另一點(diǎn)D，交拋物線于另一點(diǎn)P，過原點(diǎn)O且垂直于AD的直線交AD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線x=m交拋物線于點(diǎn)E，交直線OG于點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)m，使G、P、E、F為一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)？如果存在，求出m的所有值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，9），設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)A坐標(biāo)即可解答，進(jìn)一步利用勾股定理、相交弦定理及射影定理求得點(diǎn)H坐標(biāo)，求得直線OH解析式與直線BC聯(lián)立方程即可求出點(diǎn)G坐標(biāo)；
（2）利用平行四邊形的判定PG平行且相等于EF，聯(lián)立方程解答即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+9，
把點(diǎn)A（-2，0）代入解析式解得a=-1，
因此函數(shù)解析式為y=-x²+2x+8；
點(diǎn)C為（0，8），B為（4，0），
由相交弦定理，得OA|•|OB|=|OC|•|OD|，即2×4=8×|OD|，|OD|=1，
∵點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1）．
在Rt△AOD中，|OA|=2，|OD|=1，OH⊥AD，
∴由勾股定理，有AD=

22+12

=

5

．
又∵|OA|•|OD|=|AD|•|OH|，
∴|OH|=

2

5

5

，
∵|OA|²=|AH|•|AD|，即2²=|AH|，
∴|AH|=4，
同理，由|OD|²=|DH|•|AD|，得|DH|=

5

5

，
設(shè)點(diǎn)H（x，y），且x＜0，y＜0．
在Rt△AOH中，|AH|•|OH|=|y|•|OA|，
∴|y|=

4

5

，
∴y=-

4

5

在Rt△DOE中，|DH|•|OH|=|x|•|OD|，
∴|x|=

2

5

，x=-

2

5

，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是（-

2

5

，-

4

5

）．
設(shè)直線OH的方程為y=kx （k≠0）．
∵直線OH經(jīng)過點(diǎn)H，
∴解得k=2，
∴直線OH的方程為y=2x；
由對(duì)稱當(dāng)?shù)命c(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，8），設(shè)直線BC的方程為y=kx+b （k≠0），
則有

4k+b=0 b=8

，解得

k=-2 b=8

，
∴直線BC的方程為y=-2x+8，聯(lián)立方程組

y=-2x+8 y=2x

，
解得

x=2 y=4

，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，4）；

（2）∵點(diǎn)P（2，8），點(diǎn)G（2，4），
∴PG∥EF，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+8），點(diǎn)F的坐標(biāo)的（m，2m），
要使四邊形PGEF為平行四邊形，已知PQ∥EF，尚需條件|EF|=|PQ|，
由|（-m²+2m+8）-2m|=|8-4|=4，得|-m²+8|=4，
解得m=±2，或m=±2

3

而m=2，不合題意，應(yīng)舍去，
∴存在實(shí)數(shù)m=-2，或m=±2

3

使得以P、G、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理、相交弦定理、射影定理以及平行四邊形的判定，是一道難題．