【題目】在平行四邊形中,,點,分別在邊,上,且.
(1)如圖1,若,求證:;
(2)如圖2,若,且點為的中點,連接交于點,求;
(3)如圖3,若,探究線段、、三之間的數(shù)量關(guān)系,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)連接AC,根據(jù)題意判定平行四邊形ABCD為菱形,△ABC為等邊三角形,然后利用AAS定理判定△BCE≌△ACF,從而得出BE=AF,使問題得解;
(2)連接AC,過點M作MN⊥CF,由含30°直角三角形的性質(zhì)求得,,設(shè)CN=x,則,然后利用平行判定△FMN∽△FBC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得,然后利用勾股定理求解即可;
(3)連接AC,過點A作AK⊥BC,在DA上截取DH=CD,根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形判定△HCD是等邊三角形,然后根據(jù)AA定理判定△BCE ∽△FCH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得,即HF=kBE,從而使問題得解.
解:(1)連接AC
因為在平行四邊形ABCD中,,
∴平行四邊形ABCD為菱形,△ABC為等邊三角形
∴AC=BC,∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACB=60°,
又∵
∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACF
∴∠BCE=∠ACF
∴△BCE≌△ACF
∴BE=AF
∴AB=AE+BE=
(2)連接AC,過點M作MN⊥CF
由(1)已證,△ABC為等邊三角形,△BCE≌△ACF
∵為的中點
∴CE⊥AB
∴在Rt△BCE中,∠BCE=30°
∴,
由題意,∴∠BCF=90°
在Rt△AMCN中,∠CMN=30°
設(shè)CN=x,則
∵MN⊥CF
∴MN∥BC
∴△FMN∽△FBC
∴,
解得:
∴
在Rt△FMN中,
(3)由題意可知,在平行四邊形ABCD中,∠B=∠D=60°,
連接AC,過點A作AK⊥BC,在DA上截取DH=CD
∵DH=CD,∠B=∠D=60°
∴△HCD是等邊三角形
∴∠HCD=60°
又∵∠ECF=60°
∴∠BCE+∠ECH=∠FCH+∠ECH
∴∠BCE =∠FCH
∴△BCE ∽△FCH
∴,即HF=kBE
∴CD=DF+HF=DF+ kBE
又∵
∴
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【題目】某天,甲車間工人加工零件,工作中有一次停產(chǎn)檢修機器,然后以原來的工作效率繼續(xù)加工,由于任務(wù)緊急,乙車間加入與甲車間一起生產(chǎn)零件,兩車間各自加工零件的數(shù)量y(個)與甲車間加工時間t(時)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)求乙車間加工零件的數(shù)量y與甲車間加工時間t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.
(2)求甲車間加工零件總量a.
(3)當(dāng)甲、乙兩車間加工零件總數(shù)量為320個時,直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡.(用虛線表示畫圖過程,實線表示畫圖結(jié)果)
(1)如圖①,四邊形 ABCD 中,AB=AD,∠B=∠D,畫出四邊形 ABCD 的對稱軸 m;
(2)如圖②,四邊形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=∠D,畫出 BC 邊的垂直平分線 n.
(3)如圖③,△ABC 的外接圓的圓心是點 O,D 是的中點,畫一條直線把△ABC 分成面積相等的兩部分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,點P是直線AB上任意一點,聯(lián)結(jié)PC,在∠PCD內(nèi)部作射線CQ與對角線BD交于點Q(與B、D不重合),且∠PCQ=30°.
(1)如圖,當(dāng)點P在邊AB上時,如果BP=3,求線段PC的長;
(2)當(dāng)點P在射線BA上時,設(shè),求y關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域;
(3)聯(lián)結(jié)PQ,直線PQ與直線BC交于點E,如果與相似,求線段BP的長.
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【題目】如圖,點A,B在反比例函數(shù)的圖象上,點C,D在反比例函數(shù)的圖象上,AC//BD//y軸,已知點A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為,則k的值為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
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【題目】拋物線的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點,且與軸另交點為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,直線與拋物線相交于點和點(點在第二象限),求的值(用含的式子表示);
(3)在(2)中,若,設(shè)點是點關(guān)于原點的對稱點,如圖.平面內(nèi)是否存在點,使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形?若存在,直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,分別過點,作垂直于軸的直線和,探究直線、與函數(shù)的圖象(雙曲線)之間的關(guān)系,下列結(jié)論正確的是( )
A.兩條直線可能都不與雙曲線相交
B.當(dāng)時,兩條直線與雙曲線的交點到原點的距離不相等
C.當(dāng)時,兩條直線與雙曲線的交點都在軸左側(cè)
D.當(dāng)時,兩條直線與雙曲線的交點都在軸右側(cè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點的坐標(biāo)為,且,拋物線圖象經(jīng)過三點.
(1)求兩點的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)若點是直線下方的拋物線上的一個動點,作于點,當(dāng)的值最大時,求此時點的坐標(biāo)及的最大值.
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