Question

9．如圖，以?ABCD的頂點O為原點，邊OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，頂點A、C的坐標分別是（2，4）、（3，0），過點A的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交BC于D，連接AD．
（1）求過點A的反比例函數(shù)和直線BC的解析式；
（2）求四邊形AOCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合點A、C的坐標可得出點B的坐標，由點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出k值，從而得出反比例函數(shù)解析式，再由點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；
（2）聯(lián)立反比例函數(shù)與直線BC的解析式成方程組，解方程組求出交點D的坐標，從而得出點D是線段BC的中點，由此可得知S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_{平行四邊形ABCD}，再利用平行四邊形的面積公式即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，且頂點A、C的坐標分別是（2，4）、（3，0），
∴點B的坐標為（5，4），
∵點A（2，4）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把點B（5，4），C（3，0）代入y=mx+n中得：$\left\{\begin{array}{l}{4=5m+n}\\{0=3m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-6}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=2x-6．
（2）聯(lián)立直線BC與反比例函數(shù)解析式$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-8}\end{array}\right.$（舍去），
∴點D的坐標為（4，2），
∵點B（5，4），C（3，0），
∴點D為線段BC的中點，
∴S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_{平行四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形AOCD}=S_{平行四邊形ABCD}-S_△ABD=3×4-$\frac{1}{4}$×3×4=9．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出點B的坐標；（2）解方程組求出交點D的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．