Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線AB分別與x軸、y軸交于B、A兩點(diǎn)，且OB=2OA，S_△ABO=16．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若以O(shè)A為一邊作如圖所示的正方形AOCD，CD交AB于點(diǎn)P，問在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似？若存在，求點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積求出OA，得出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出即可；
（2）證△ADP≌△BCP，求出DP=CP=2，根據(jù)相似三角形的判定定理（有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似）得出兩個比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）∵OB=2OA，S_△ABO=16，
∴

1

2

OA×OB=16，
∴

1

2

×OA×2OA=16，
∴OA=4，OB=8，
即A（0，4）B（-8，0），
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
代入得：

4=b 0=-8k+b

，
解得：k=

1

2

，
故直線AB的解析式是y=

1

2

x+4；

（2）在x軸上存在一點(diǎn)Q，使以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似，
理由是：∵四邊形ADCO是正方形，A（0，4），
∴∠D=∠DC0=90°=∠PCB，AD∥OC，AD=OC=DC=OA=4，
∴BC=4=AD，
∵AD∥OC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ADP和△BCP中，
∵

∠D=∠PCB AD=BC ∠DAP=∠CBP

，
∴△ADP≌△BCP（ASA），
∴DP=CP=2，
∵Q在x軸上，
∴以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似，
首先有∠ADP=∠PDQ=90°，
故只有當(dāng)具備條件

AD

DP

=

PC

CQ

或

AD

DP

=

CQ

PC

時，兩三角形就相似，
即

4

2

=

2

CQ

或

4

2

=

CQ

2

，
解得：CQ=1或CQ=4，
即符合條件的點(diǎn)有4個：當(dāng)CQ=1時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-3，0）或（-1，0）；
當(dāng)CQ=4時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-6，0）或（2，0）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)和判定，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，三角形的面積等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，注意：要進(jìn)行分類討論．