【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂線交AB于點F,⊙O是△BEF的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線.
(2)過點E作EH⊥AB于點H,求證:CD=HF.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)連接OE,由于BE是角平分線,則有∠CBE=∠OBE;而OB=OE,就有∠OBE=∠OEB,等量代換有∠OEB=∠CBE,那么利用內(nèi)錯角相等,兩直線平行,可得OE∥BC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是⊙O的切線;
(2)連結(jié)DE,先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE,再由全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出CD=HF.
試題解析:(1)如圖1,連接OE.
∵BE⊥EF,
∴∠BEF=90°,
∴BF是圓O的直徑.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠OBE,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OEB=∠CBE,
∴OE∥BC,
∴∠AEO=∠C=90°,
∴AC是⊙O的切線;
(2)如圖2,連結(jié)DE.
∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H,
∴EC=EH.
∵∠CDE+∠BDE=180°,∠HFE+∠BDE=180°,
∴∠CDE=∠HFE.
在△CDE與△HFE中,
,
∴△CDE≌△HFE(AAS),
∴CD=HF.
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