Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，6）的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，OB=OC，直線AD交x軸正半軸于點(diǎn)D，若△ABD的面積為27．
（1）求直線AD的解析式；
（2）橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交AD于點(diǎn)E，設(shè)PE的長(zhǎng)為y，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出相應(yīng)的m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使△PEF為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵A（2，6），
∴OG=2，AG=6．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠COB=90°，∠COB+∠OBC+∠OCB=180°，

∴∠OBC=∠OCB=45°．
∵∠COB=∠AGB=90°，
∴CO∥AG．
∴∠BAG=∠OCB=∠OBC═45°
∴BG=AG=6，
∴OB=4，
∴B（-4，0）
∵=27，
∴BD=9
∴OD=5，
∴D（5，0）
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b
∵A（2，6）D（5，0），
∴，
解得：，
∴直線AD的解析式為y=-2x+10；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD，點(diǎn)H為垂足
∠BPH=180°-∠ABO-∠PHB=45°

∴∠BPH=∠PBH，
∴PH=HB．
設(shè)AB的解析式為：y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=x+4．
∵OB=4，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m
∴PH=HB=m+4．
∵PE∥x軸，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m+4．
∵點(diǎn)E在直線 y=-2x+10上，
∴m+4=-2x+10，
∴x=3-，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3-．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴y=3--m，
=
∴m的取值范圍為-4＜m＜2；
（3）在x軸上存在點(diǎn)F，使△PEF為等腰直角三角形，

①當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，有PF=PE，PF=m+4 PE=，
∴=m+4
解得m=-此時(shí)F（-，0）；
②當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，有EP=EF，EF的長(zhǎng)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，

∴EF=m+4，
∴=m+4，
解得：m=-．
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3-=3-（-=，
∴F（，0）；
③當(dāng)∠PFE=90°時(shí) FP=FE，
∴∠FPE=∠FEP．
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，
∴∠FPE=∠FEP=45°．
作FR⊥PE，點(diǎn)R為垂足，

∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，
∴∠PFR=∠RPF，
∴FR=PR．
同理FR=ER，
∴FR=PE．
∵點(diǎn)R與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，
∴FR=m+4，
∴m+4=（），
解得：m=，
∴PR=FR=m+4=+4=，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為+=，
∴F（，0）．
綜上，在x軸上存在點(diǎn)F使△PEF為等腰直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-，0）或（，0）或（，0）．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出BD的值，求出OD的值，從而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，直接根據(jù)待定系數(shù)法求出AD的解析式；
（2）先根據(jù)B、A的坐標(biāo)求出直線AB的解析式，將P點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線AB的解析式，求出P的總坐標(biāo)，將P點(diǎn)的總坐標(biāo)代入直線AD的解析式就可以求出E的橫坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；
（3）要使△PEF為等腰直角三角形，分三種情況分別以點(diǎn)P、E、F為直角頂點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中m的值，就可以求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．