Question

已知，在△ABC中（∠A＜∠B），AB=AC=8，．
（1）求BC的長（如圖a）；
（2）P、Q分別是AB、BC上的點，且BP：CQ=2：1，連接PQ并延長，交AC的延長線于點E，設(shè)CQ=x，CE=y（如圖b）．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域；
②當(dāng)x為何值時，△PEA是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）過點B作BD⊥AC，垂足為點D，
∵在Rt△ADB中，，
∴AD=AB•cosA=7，
∴，
∴在Rt△BDC中，，

（2）①過點P作PF∥BC，交AC于點F，
∴，
∴，
∴PF=4-x，F(xiàn)C=2x，
∵PF∥BC，
∴，
∴，
∴，
②若AP=AE，AP＜8，AE＞8，矛盾，
∴AP=AE不存在，
若AE=PE，則∠A=∠APE，
∵∠APE＞∠B，∠A＜∠B，矛盾，
∴AE=PE不存在，
若AP=EP，過點P作PM⊥AE，垂足為點M，
∴，
∴，
整理得7x+2y=12，
又∵，解得（舍去），
∴當(dāng)時，△PEF是等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)題意作輔助線，然后根據(jù)勾股定理及余弦即可得出答案，
（2）①根據(jù)題意作輔助線，然后根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)列出一元二次方程，即可推理得出答案，
②根據(jù)題意作輔助線，然后利用假設(shè)推理及三角函數(shù)即可推理得出答案．
點評：本題主要考查了勾股定理、三角函數(shù)、平行線分線段成比例的性質(zhì)以及解直角三角形，比較綜合，難度較大．