Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，E、F分別為BM、CM的中點．   
（1）求證：△ABM≌△CDM；
（2）?①判斷并證明四邊形MENF是何種特殊的四邊形；
?②當(dāng)?shù)妊�梯形ABCD的高h與底邊BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形MENF是正方形？（直接寫出結(jié)論，不需要證明）．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,正方形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得AB=CD，∠A=∠D，再由點M是AD的中點，可得AM=DM，繼而利用SAS可證明全等；
（2）①利用三角形中位線定理，可判斷四邊形MENF是菱形；
②四邊形MENF是正方形，則∠BCM為直角，根據(jù)等腰直角三角形的中線的性質(zhì)，可得高h與底邊BC的關(guān)系．

解答：解：（1）∵ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
又∵M為AD的中點，
∴MA=MD，
在△ABM和△DCM中，

AM=DM ∠A=∠D AB=DC

∴△AMB≌△DMC．

（2）?①判斷四邊形MENF為菱形．
由（1）得△AMB≌△DMC，
∴BM=CM；
又∵E、F、N分別為BM、CM、BC中點，
∴MC=2MF=2NE，BM=2ME=2NF，（或MF∥NE，ME∥NF；）
∴EM=NF=MF=NE，
∴四邊形MENF為菱形．
?當(dāng)BC=2h或BC=2MN時，MENF為正方形．

點評：本題考查了等腰梯形性質(zhì)、三角形的中位線定理，菱形正方形的判定，解答本題的涉及知識較多，但相對比較基礎(chǔ)，難度一般．