Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
15.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合,以BP為邊在BC上方作正方形BPEF,設(shè)正方形BPEF與△ABC的重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)E落在線段AC上時(shí),求t的值;
(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為O,點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′,以O(shè)C′為邊在BC上方作正方形OC′MN,當(dāng)正方形OC′MN與△ACD重疊部分圖形為三角形時(shí),直接寫(xiě)出t的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)PC=BC-BP可得出PC長(zhǎng)度關(guān)于t的表達(dá)式,結(jié)合PC≥0即可得出t的取值范圍;
(2)當(dāng)點(diǎn)P落在線段AC上時(shí),由正方形的性質(zhì)可得知EP∥AB,由此得出△CPE∽△CBA,根據(jù)相似三角形的相似比即可得出結(jié)論;
(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),按正方形BPEF與△ABC的重疊部分圖形的形狀不同分情況考慮:①為正方形時(shí),結(jié)合(2)結(jié)論可得知此時(shí)t的取值范圍,由正方形的面積公式即可得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;②為五邊形時(shí),由F點(diǎn)在線段AB上可得出此時(shí)t的取值范圍,根據(jù)S=大三角形面積-2個(gè)小三角形的面積即可得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;③為梯形時(shí),t為值域內(nèi)剩下的部分,根據(jù)S=大三角形面積-小三角形面積即可得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)按運(yùn)動(dòng)的過(guò)程尋找,找出幾個(gè)臨界點(diǎn),求出此時(shí)的t值,結(jié)合實(shí)際情況即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)BP=2t,PC=BC-BP=8-2t,
{2t082t0,
∴0<t≤4.
故PC=-2t+8(0<t≤4).
(2)當(dāng)點(diǎn)P落在線段AC上時(shí),
∵EP∥AB,
∴△CPE∽△CBA,
EPAB=PCBC,即2t6=82t8
解得:t=127
(3)按P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中正方形BPEF與△ABC的重疊部分圖形的形狀不同分3種情況考慮:

①當(dāng)0<t≤127時(shí),如圖1所示.
此時(shí)S=BP2=(2t)2=4t2;
②當(dāng)127<t≤3時(shí),如圖2所示.
此時(shí)BF=BP=2t,PC=8-2t,AF=6-2t,
∵NP∥AB,F(xiàn)M∥BC,
∴△CNP∽△CAB∽△MAF,
PCNP=BCAB=FMAF,
∴NP=34PC=6-32t,F(xiàn)M=43AF=8-83t.
S=12BC•AB-12PC•NP-12FM•AF=12×6×8-12(8-2t)(6-32t)-12(8-83t)(6-2t)=-256t2+28t-24;
③當(dāng)3<t≤4時(shí),如圖3所示.
∵PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CBA,
PQPC=BABC,
∴PQ=34PC=6-32t.
S=12BC•AB-12PC•PQ=12×8×6-12(8-2t)(6-32t)=-32t2+12t.
(4)根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),畫(huà)出正方形OC′MN與△ACD重疊部分圖形為三角形時(shí)的臨界點(diǎn).

①當(dāng)P點(diǎn)開(kāi)始往右移動(dòng)時(shí),正方形OC′MN與△ACD重疊部分圖形為三角形,達(dá)到圖4所示情況時(shí)不再為三角形.
此時(shí):OC′=ON,
∵點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn),ON∥AB,
∴ON為△CAB的中位線,
∴OC′=ON=12AB=3,
CC′=OC′+OC=3+4=7,
∴PC=12CC′=72=8-2t,
解得:t=94
即0<t<94
②當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖5所示情況時(shí),正方形OC′MN與△ACD重疊部分圖形開(kāi)始為三角形.
此時(shí)MC′=34CC′=OC′,OC=OC′+CC′=4,
∴MC′=127,CC′=167,
∴PC=12CC′=87=8-2t,
解得:t=247
③當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖6所示情況,正方形OC′MN與△ACD重疊部分圖形為三角形,P再運(yùn)動(dòng)一點(diǎn)時(shí)不再為三角形.
此時(shí)OC′=ON=12AB=3,CC′=OC-OC′=4-3=1,
∴PC=12CC′=12=8-2t,
解得:t=154
綜上知:當(dāng)正方形OC′MN與△ACD重疊部分圖形為三角形時(shí),t的取值范圍為0<t<94247<t≤154

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、解一元一次方程、一元一次不等式組以及三角形的面積公式,解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)不等式組找出t的取值范圍;(2)找出比例關(guān)系;(3)根據(jù)重合圖形的不同分類(lèi)討論;(4)按P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程尋找臨界點(diǎn).本題屬于中檔題,難度不小,題中出現(xiàn)大量圖形,深刻的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.已知:如圖,∠B=∠C,∠1=∠3.求證:∠A=∠D.
請(qǐng)把下面的推理過(guò)程填寫(xiě)完整.
證明:∵∠B=∠C(已知)
∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)
∴∠A=∠AFC(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
   又∵∠1=∠3(已知)
∠2=∠3(對(duì)頂角相等)
∴∠1=∠2(等量代換)
∴AF∥DE(同位角相等,兩直線平行)
∴∠AFC=∠D(兩直線平行,同位角相等)
∴∠A=∠D(等量代換)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

6.如圖是由6個(gè)同樣大小的正方體搭成的立體圖形,將正方體①移走后,所得立體圖形( �。�
A.主視圖改變,左視圖改變B.俯視圖不變,左視圖不變
C.俯視圖改變,左視圖改變D.主視圖改變,左視圖不變

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

3.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3,AD=1,該長(zhǎng)方形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度得長(zhǎng)方形AB′C′D′,點(diǎn)C′落在AB的延長(zhǎng)線上,則線段BC′的長(zhǎng)是2-3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.在學(xué)習(xí)完矩形的內(nèi)容后,某課外學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究,如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).
操作發(fā)現(xiàn):
如圖(1)所示,點(diǎn)E為AD邊上任意一點(diǎn),連接EO并延長(zhǎng)與BC邊交于點(diǎn)F.
(1)小組成員甲發(fā)現(xiàn)“AE=CF”,請(qǐng)你完成證明;
(2)如圖(2),連接BE、DF,小組成員乙發(fā)現(xiàn)“四邊形BEDF的形狀一定是平行四邊形,當(dāng)AE的長(zhǎng)為53時(shí),四邊形BEDF是菱形”;
探究發(fā)現(xiàn):
受前面兩位組員的啟發(fā),小組成員丙與丁對(duì)圖形進(jìn)一步操作,將圖(2)中的△ABE與△CDF分別沿BE與DF進(jìn)行翻折,點(diǎn)A與點(diǎn)C分別落在矩形ABCD內(nèi)的點(diǎn)A′,C′處.
(3)如圖(3),連接A′D,BC′,發(fā)現(xiàn)“四邊形BA′DC′是平行四邊形”,請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論;
(4)如圖(4),連接A′C′,A′C′有最小值嗎?若有,請(qǐng)你直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.如圖,在△ABC中,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)G,且D是BC中點(diǎn),DE⊥AB,垂足為E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線;
(2)若CF=3,cosA=25,求出⊙O的半徑和BE的長(zhǎng);
(3)連接CG,在(2)的條件下,求CGEF的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.如圖,已知在△ABC中,AB=AC=6,AH⊥BC,垂足為點(diǎn)H.點(diǎn)D在邊AB上,且AD=2,聯(lián)結(jié)CD交AH于點(diǎn)E.
(1)如圖1,如果AE=AD,求AH的長(zhǎng);
(2)如圖2,⊙A是以點(diǎn)A為圓心,AD為半徑的圓,交AH于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn),如果以點(diǎn)P為圓心,BP為半徑的圓與⊙A外切,以點(diǎn)P為圓心,CP為半徑的圓與⊙A內(nèi)切,求邊BC的長(zhǎng);
(3)如圖3,聯(lián)結(jié)DF.設(shè)DF=x,△ABC的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

15.兩圓的半徑分別為5和6,當(dāng)兩圓相交時(shí),圓心距d的取值范圍為1<d<11.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.下列計(jì)算正確的是( �。�
A.3+2=5B.12÷3=2C.6×(-3)=32D.3-1)2=2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案