Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)A，B分別落在坐標(biāo)軸上，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-12，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，16），動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)．沿OA向中點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從A出發(fā)，沿AB向中點(diǎn)B以每秒$\frac{10}{3}$個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在此運(yùn)動(dòng)的過程中，△MNA為直角三角形的情況？若存在，請求出t的值．若不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MNA是一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程=時(shí)間×速度可求出OM的長度，從而得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)此時(shí)經(jīng)過A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由A、M、B三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）假設(shè)存在，由∠A不為直角可知，△MNA為直角三角形只有兩種情況，分別考慮∠AMN或∠ANM為90°的情況，利用相似三角形的性質(zhì)可得出比例關(guān)系，由此得出關(guān)于時(shí)間t的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，通過相似三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式找出線段AN、AM、MN的長度，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分三種情況考慮，根據(jù)線段相等得出關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)t=3時(shí)，OM=2×3=6，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-6，0）．
設(shè)此時(shí)經(jīng)過A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A（-12，0）、B（0，16）、M（-6，0）代入到拋物線解析式中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=144a-12b+c}\\{16=c}\\{0=36a-6b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{9}}\\{b=4}\\{c=16}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-6，0），此時(shí)經(jīng)過A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=$\frac{2}{9}{x}^{2}$+4x+16．
（2）假設(shè)存在．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，OM=2t，AN=$\frac{10}{3}$t，AM=AO-OM=12-2t．
在Rt△ABO中，AO=12，BO=16，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=20．
20÷$\frac{10}{3}$=6（秒）；
12÷2=6（秒）．
∴0≤t≤6．
△MNA為直角三角形分兩種情況：
①∠AMN=90°時(shí)，∠AMN=∠AOB=90°，∠A=∠A，
∴△AMN∽△AOB，
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AO}$，即40t=240-40t，
解得：t=3；
②∠ANM=90°時(shí)，∠ANM=∠AOB=90°，∠A=∠A，
∴△ANM∽△AOB，
∴$\frac{AN}{AO}=\frac{AM}{AB}$，即$\frac{50}{3}$t=36-6t，
解得：t=$\frac{27}{17}$．
故在此運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t的值為3或$\frac{27}{17}$時(shí)，△MNA為直角三角形．
（3）過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示．

∵NE⊥x軸，BO⊥x軸，
∴NE∥BO，
∴△ANE∽△ABO，
∴$\frac{NE}{BO}=\frac{AE}{AO}$=$\frac{AN}{AB}$，
又∵AN=$\frac{10}{3}$t，
∴NE=$\frac{BO•AN}{AB}$=$\frac{8}{3}$t，AE=$\frac{AO•AN}{AB}$=2t，OE=AO-AE=12-2t，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2t-12，$\frac{8}{3}$t）．
又∵點(diǎn)A（-12，0），點(diǎn)M（-2t，0），
∴AN=$\frac{10}{3}$t，AM=12-2t，MN=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$．
△MNA是一個(gè)等腰三角形分三種情況：
①AN=AM，即$\frac{10}{3}$t=12-2t，
解得：t=$\frac{9}{4}$；
②AN=MN，即$\frac{10}{3}$t=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$，
解得：t=2，或t=6，
當(dāng)t=6時(shí)，A、M點(diǎn)重合，不成三角形，
∴t=2．
③AM=MN，即12-2t=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$，
解得：t=0，或t=$\frac{108}{43}$，
當(dāng)t=0時(shí)，A、N點(diǎn)重合，不成三角形，
∴t=$\frac{108}{43}$．
綜上可知：當(dāng)t為2、$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$秒時(shí)，△MNA是一個(gè)等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形、解一元一次（一元二次）方程以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）找出關(guān)于時(shí)間t的一元一次方程；（3）找出關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（等腰三角形的性質(zhì)）得出關(guān)于時(shí)間t的方程是關(guān)鍵．