Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AD垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為D．

（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若AC=2，AB=，CD=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

解：（1）連接OC，
∵DC為圓O的切線，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，即AC為角平分線；


（2）連接BC，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：AD===4，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，即=，
解得：AB=5，
則圓的直徑為5．
分析：（1）由DC為圓O的切線，連接OC，利用切線的性質(zhì)得到CD與OC垂直，再由AD與DC垂直，得到AD與OC平行，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；
（2）連接BC，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到三角形ABC為直角三角形，再由（1）中AC為角平分線得到一對(duì)角相等，可得出三角形ACD與三角形ABC相似，由相似得比例，求出AB的長，即為圓的直徑．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．