Question

7．如圖．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，DE⊥BC于E，CD平分∠ACE．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若∠ACB=60°，CE=1，求直徑AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)角之間的互余關(guān)系可得∠ODE=∠DEC=90°，故DE⊥OD，即DE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)圓周角定理，可得在Rt△CED中，∠CED=90°，∠EDC=30°，有CD=2CE；在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=30°，有AC=2CD=4CE，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接OD，
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCA=∠ECD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠ECD，
∴OD∥BE．
∵DE⊥BE，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵AC是直徑，
∴∠ABC=∠ADC=90°．
∵∠BCA=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACE=120°．
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠ECD=60°．
∴∠CAD=∠EDC=30°．
∵在Rt△CED中，∠CED=90°，∠EDC=30°，
∴CD=2CE．
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AC=2CD=4CE．
∵CE的長是1cm，
∴AC的長是4cm．

點評 本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，及線段長度的求法，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題．