Question

在△ABC中，∠A=30°，AB=2，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（0°<<90°），得到△DBE，其中點A的對應點是點D，點C的對應點是點E，AC、DE相交于點F，連接BF.

（1）如圖1，若=60°，線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)得到線段BD.請補全△DBE，并直接寫出∠AFB的度數(shù)；

（2）如圖2，若=90°，求∠AFB的度數(shù)和BF的長；

（3）如圖3，若旋轉(zhuǎn)（0°<<90°），請直接寫出∠AFB的度數(shù)及BF的長（用含 的代數(shù)式表示）.

Answer 1

（1）∠AFB=60°; （2）BF=；（3）∠AFB=90°-，BF=

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到C的對應點E連接即可，求∠AFB時，易證AF是DB的垂直平分線，又∠BDF=∠A=30°，所以可求出∠AFB=60°；

（2）利用相似可以判斷∠AFD=∠ABD=90°所以A、B、F、D在以AB為直徑的圓上，再利用同弧對的圓周角相等即可求出∠AFB，最后在△ABF中利用勾股定理求出BF.

（3）有旋轉(zhuǎn)可知∠A=∠BDE=30°,所以點A、B、D、F四點公圓，再有同弧對的圓周角相等可得：

∠AFB=∠ADB, 在△ABD中，∠ABD=,AB=AD,所以∠ADB=90°-；過B作AF，先在△ABN中求出BN,再在△FBN中求出BF即可.

試題解析：（1）補全圖形如圖所示，∠AFB=60°；

（2）【解析】
連接AD，∵∠BAC=∠BDE=30°∠1=∠2

∴∠AFD=∠ABD=90°

∴A、B、F、D在以AB為直徑的圓上，

∴∠AFB=∠ADB=45°

在△ABF中，∠FAB=30°，∠AFB=45°，AB=，

可解得BF=

（3）∠AFB=90°-； BF=

考點：四點共圓，三角函數(shù)，勾股定理.