Question

如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分別是AD、BC上的點，線段EF過矩形對角線AC的中點O，且EF⊥AC，PF∥AC，則EF：PE的值是

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：連接AF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AF=FC，設(shè)AB=4a，BF=x，然后表示出AF=8a-x，在Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AP，然后利用勾股定理列式求出PE、EF，再求出比值即可．

解答：解：如圖，連接AF，
∵EF⊥AC，O是AC的中點，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
設(shè)AB=4a，BF=x，
∵AD=2AB=2•4a=8a，
∴BC=8a，
AF=FC=8a-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即（4a）²+x²=（8a-x）²，
解得x=3a，
∴FC=5a，
∵PF∥AC，
∴△ABC∽△PBF，
∴

PB

AB

=

BF

BC

，
即

PB

4a

=

3a

8a

，
解得PB=

3

2

a，
∴AP=4a-

3

2

a=

5

2

a，
易得△AEO≌△CFO，
∴AE=FC=5a，
在Rt△APE中，由勾股定理得，PE=

( 5 2 a)2+(5a)2

=

5 5

2

a，
又EF=

(4a)2+(8a-2×3a)2

=2

5

a，
∴EF：PE=2

5

a：

5 5

2

a=

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)分別表示出PE、EF是解題的關(guān)鍵．