Question

武漢歡樂谷要建一個(gè)圓形噴水池，如圖所示，計(jì)劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圓噴水頭，時(shí)噴出的水柱在離池中心4m處達(dá)到最高，高度為6m，另外還要再噴水池的中心設(shè)計(jì)一個(gè)裝飾水壇，使各方向噴來的水柱在此匯合，已知裝飾水壇的高度為

10

3

m．
（1）建立平面直角坐標(biāo)系，使拋物線水柱最高坐標(biāo)為（4，6），裝飾水壇最高坐標(biāo)為（0，

10

3

），求圓形噴水池的半徑．
（2）為防止游客戲水出現(xiàn)危險(xiǎn)，公園再噴水池內(nèi)設(shè)置了一個(gè)六方形隔離網(wǎng)．如圖，若該六邊形被圓形噴水池的直徑AB平分為兩個(gè)相同的等腰梯形，那么，當(dāng)該等腰梯形的腰AD長(zhǎng)為多少時(shí)，該梯形周長(zhǎng)最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用頂點(diǎn)式得出二次函數(shù)解析式，令y=0，則-

1

6

（x-4）²+6=0，求出x的值即可得出答案．
（2）連接OD，則三角形AOD是等邊三角形，由題意可知當(dāng)六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)都在圓上時(shí)，則梯形周長(zhǎng)最大，計(jì)算即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，
由題意可知：h=4，k=6，
∴y=a（x-4）²+6，
∵裝飾水壇最高坐標(biāo)為（0，

10

3

），
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=

10

3

，
代入得：

10

3

=16a+6，
解得：a=-

1

6

，
∴y=-

1

6

（x-4）²+6，
令y=0，則-

1

6

（x-4）²+6=0，
解得：x=10或-2（舍），
∴圓形噴水池的半徑為10米；

（2）連接OD，則三角形AOD是等邊三角形，由題意可知當(dāng)六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)都在圓上時(shí)，則梯形周長(zhǎng)最大，
∵AD=OD=AO=10米，
∴梯形ADCB的周長(zhǎng)為10+10+10+20=50米，
∴該等腰梯形的腰AD長(zhǎng)為10米時(shí)，該梯形周長(zhǎng)最大為50米．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問題運(yùn)用二次函數(shù)最大值求二次函數(shù)解析式，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．