Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在BC、AC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AF=CE，連接DE，DF，EF，CD
（1）求證：△DEF是直角三角形；
（2）若AC=8，求四邊形DECF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AD=CD，利用三線合一及等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDE=∠A=45°，再由AF=CE，利用SAS得到三角形ACF與三角形CED全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角相等得到DE=DF，∠ADF=∠CDE，利用等式的性質(zhì)得到DE與DF垂直，即可確定出三角形DEF為等腰直角三角形；
（2）由AC=BC=8，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形ACF與三角形DEC全等，得到兩三角形面積相等，四邊形DECF面積=三角形CFD面積+三角形CDE面積，等量代換即為三角形ACD面積，求出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，D為AB的中點(diǎn)，
∴CD=AD=BD，∠CDE=∠A=45°，
在△AFD和△CED中，

AF=CE ∠A=∠ECD AD=CD

，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDF=∠CED+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，
則△DEF為等腰直角三角形；
（2）∵△AFD≌△CED，
∴△AFD與△CED面積相等，
在Rt△ABC中，AC=BC=8，
根據(jù)勾股定理得：AB=

82+82

=8

2

，
∴AD=BD=CD=4

2

，
則S_{四邊形DECF}=S_△ADF+S_△CFD=S_△CED+S_△CFD=S_△ACD=

1

2

AD•CD=16．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．