Question

18．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），以AB為邊作等腰直角△ABC，其中點(diǎn)A、B、C成順時(shí)針順序排列，AB=BC．

（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（含字母b）
（2）如圖2，若b=3，點(diǎn)D為邊BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)T為線段BD的中點(diǎn)，TE⊥BC于T，交AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)
（3）點(diǎn)G與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，連接CG，記∠OAB=α，∠BCG=β，若α、β均為銳角，當(dāng)b的取值發(fā)生變化時(shí)，α與β之間可能滿足什么等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥OB垂足為M，由△ABO≌△BCM得AO=BM=3，MC=BO=b即可寫出點(diǎn)C坐標(biāo)．
（2）首先證明點(diǎn)C在x軸上，設(shè)BT=TD=a，用a表示線段AE、FC，根據(jù)EF=AC-AE-FC即可求出EF．
（3）作CM⊥OB，GN⊥CM垂足分別為M、N．由△ABO≌△BCM得AO=BM，BO=CM，由∠MOG=∠GNM=∠NMO=90°得四邊形MNGC是矩形，得到MN=OG=AO=BM，即NC=OM=NG，所以∠NGC=∠NCG=45°即可推出∠OGC=135°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，作CM⊥OB垂足為M，
∵∠ABC=∠BMC=90°，
∴∠ABO+∠，MBC=90°，∠MBC+∠MCB=90°，
∴∠ABO=∠MCB，
在△ABO和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BMC=90°}\\{∠ABO=∠MCB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCM，
∴AO=BM=3，BO=MC=b，MO=b-3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（b，b-3）．
（2）如圖2，作EM⊥AB垂足為M，
∵OA=OB=3，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC=∠BC-∠ABO=45°，
∵BA=BC，∠ABO=∠OBC，
∴AO=OC，BO⊥AC，
∴點(diǎn)C在x軸上，設(shè)BT=TD=a，
∵∠EMB=∠MBT=∠BTE=90°，
∴四邊形BMET是矩形，
∴ME=BT=a，
 在RT△AME中，∵∠A=45°，ME=a，
∴AE=$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$a，
在RT△DCF中，∵∠C=45°CD=3$\sqrt{2}$-2a，
∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3-$\sqrt{2}$a，
∴EF=AC-AE-FG=6-$\sqrt{2}$a-（3-$\sqrt{2}$a）=3．
（3）結(jié)論：α+β=135°，理由如下：
證明：如圖3中，作CM⊥OB，GN⊥CM垂足分別為M、N．
由（1）可知△ABO≌△BCM，
∴AO=BM，BO=CM，
∵∠MOG=∠GNM=∠NMO=90°，
∴四邊形MNGC是矩形，
∴MN=OG=AO=BM，
∴NC=OM=NG，
∴∠NGC=∠NCG=45°，
∵CM∥OG，
∴∠NGO=∠GNC=90°，
∴∠OGC=135°，
在四邊形ABCG中，∵∠BAO+∠ABC+∠BCG+∠AGC=360°，
∴α+β+90°+135°=360°，
∴α+β=135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形或矩形是解題的關(guān)鍵．