Question

已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．

（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）如圖3，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵四邊形AFED是菱形，∴AF=AD。

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF。

∴∠BAC－∠DAC=∠DAF－∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF ，

∴△BAD≌△CAF（SAS）�！郈F=BD。

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。

即①BD=CF，②AC=CF+CD。

（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系是AC=CF－CD。理由如下：

由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AC=AB，∠BAD=∠CAF ，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）�！郆D=CF。

∴CF－CD=BD－CD=BC=AC，即AC=CF－CD。

補全圖形如下，AC、CF、CD之間的數(shù)量關系為AC=CD－CF。

【解析】等邊三角形的性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質

【分析】（1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，由SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可。

（2）求出∠BAD=∠CAF，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可。

（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可：

∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠DAB=∠CAF， AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）�！郈F=BD。∴CD－CF=CD－BD=BC=AC。