Question

如圖①，將一張矩形紙片對折，然后沿虛線剪切，得到兩個（不等邊）三角形紙片△ABC，△A₁B₁C₁．

（1）將△ABC，△A₁B₁C₁如圖②擺放，使點A₁與B重合，點B₁在AC邊的延長線上，連接CC₁交BB₁于點E．
①求證：四邊形C₁B₁AB為梯形．
②若∠A=45°，∠ABC=30°，求∠B₁C₁C的度數(shù)
（2）若將△ABC，△A₁B₁C₁如圖③擺放，使點B₁與B重合，點A₁在AC邊的延長線上，連接CC₁交A₁B于點F．試判斷∠A₁C₁C與∠A₁BC是否相等，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，若AC=3，B₁C₁=6，設(shè)A₁B=x，C₁F=y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）①運用全等三角形的性質(zhì)就可以得出∴∠A=∠2，BB₁=BA，BC₁=CA，∠3=∠4，就可以得出BC₁∥B₁A，就可以得出結(jié)論；
②由B₁C∥B₁A就可以得出四邊形C₁CAB是平行四邊形就可以得出∠B₁CC₁=∠A，在由三角形的內(nèi)角和就可以求出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)就可以得出△BC₁C與△BA₁A是等腰三角形，且∠C₁BC=∠A₁BA，就可以求出∠3=∠C₁A₁B，就可以得出結(jié)論；
（3）通過∠A₁C₁C=∠A₁BC就可以得出∠BFC₁=∠BC₁A₁，就可以得出△BFC₁∽△BC₁A₁，就可以得出

C1F

C1A1

=

BC1

BA1

，進而就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）①證明：如圖④∵△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴∠A=∠2，BB₁=BA，BC₁=CA，∠3=∠4，
∴∠1=∠A，
∴∠1=∠2
∴B₁C∥B₁A
∵BC₁=CA
∴BC₁≠B₁A
∴四邊形C₁B₁AB為梯形；
②∵∠A=45°，∠ABC=30°，
∴∠1=∠2=45°，∠4=30°．
∵BC₁∥B₁A，BC₁=AC，
∴四邊形C₁CAB是平行四邊形，
∴C₁C∥A₁A，
∴∠B₁CC₁=∠A=45°．
∵∠B₁CC₁+∠1+∠4+∠B₁C₁C=180°，
∴∠B₁C₁C=60°；
（2）結(jié)論是：∠A₁C₁C=∠A₁BC．
理由：∵△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴BC₁=BC，BA₁=BA，∠1=∠2，∠A=∠C₁A₁B．
∴∠1+∠4=∠2+∠4，∠3=∠5，∠A=∠C₁A₁B，
∴∠C₁BC=∠A₁BA．
∵∠C₁BC+2∠3=∠A₁BA+2∠A=180°，
∴∠3=∠A

∴∠3=∠C₁A₁B．
∵∠C₁FA₁=∠CFB
∴∠A₁C₁C=∠A₁BC；
（3）∵∠A₁C₁C=∠A₁BC，
∴∠A₁C₁C+∠5=∠A₁BC+∠3，
∴∠A₁C₁B=∠A₁BC+∠3．
∵∠BFC₁=∠A₁BC+∠3．
∴∠A₁C₁B=∠BFC₁．
∵∠2=∠2，
∴△BFC₁∽△BC₁A₁，
∴

C1F

C1A1

=

BC1

BA1

，
∴

y

3

=

6

x

，
∴y=

18

x

．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，梯形的判定及性質(zhì)的運用，解答時運用相似三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．