Question

13．二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4的圖象與x軸的交點從右向左為A，B兩點，與y軸的交點為C，頂點D．
（1）求四邊形ABCD的面積；
（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上求一點D′，使四邊形ABCD′的面積最大．

Answer 1

分析 （1）連接OD，當(dāng)y=0時，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解方程得出x=4，或x=-2，得出點A和B的坐標，當(dāng)x=0時，y=4，得出點C的坐標，把二次函數(shù)化成頂點式，得出頂點坐標，四邊形ABCD的面積=△BOC的面積+△OCD的面積+△OAD的面積，即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），四邊形ABCD′的面積為S，則四邊形ABCD′的面積S=△BOC的面積+△OCD′的面積+△OAD′的面積，得出S是x的二次函數(shù)，得出當(dāng)x=2時，S最大，當(dāng)x=2時，求出縱坐標即可．

解答 解：（1）如圖所示：連接OD，
∵二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
當(dāng)y=0時，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
解得：x=4，或x=-2，
∴A（4，0），B（-2，0）；
當(dāng)x=0時，y=4，
∴C（0，4），
∵二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴D（1，$\frac{9}{2}$），
∴四邊形ABCD的面積=△BOC的面積+△OCD的面積+△OAD的面積=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×4×1+$\frac{1}{2}$×4×$\frac{9}{2}$=15；
（2）如圖2所示：
設(shè)D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），四邊形ABCD′的面積為S，
則四邊形ABCD′的面積S=△BOC的面積+△OCD′的面積+△OAD′的面積
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×4×x+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+x+4）
=-x²+4x+12
=-（x-2）²+16，
∵-1＜0，
∴S有最大值，當(dāng)x=2時，S最大，
當(dāng)x=2時，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=4，
∴D′坐標為（2，4）．

點評 本題考查了拋物線與坐標軸的交點坐標、二次函數(shù)的綜合運用以及最值問題；熟練掌握二次函數(shù)的運用，求出拋物線與坐標軸的交點坐標是解決問題的關(guān)鍵．