Question

13．二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4的圖象與x軸的交點(diǎn)從右向左為A，B兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)D．
（1）求四邊形ABCD的面積；
（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上求一點(diǎn)D′，使四邊形ABCD′的面積最大．

Answer 1

分析 （1）連接OD，當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解方程得出x=4，或x=-2，得出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形ABCD的面積=△BOC的面積+△OCD的面積+△OAD的面積，即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），四邊形ABCD′的面積為S，則四邊形ABCD′的面積S=△BOC的面積+△OCD′的面積+△OAD′的面積，得出S是x的二次函數(shù)，得出當(dāng)x=2時(shí)，S最大，當(dāng)x=2時(shí)，求出縱坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）如圖所示：連接OD，
∵二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
解得：x=4，或x=-2，
∴A（4，0），B（-2，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴C（0，4），
∵二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴D（1，$\frac{9}{2}$），
∴四邊形ABCD的面積=△BOC的面積+△OCD的面積+△OAD的面積=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×4×1+$\frac{1}{2}$×4×$\frac{9}{2}$=15；
（2）如圖2所示：
設(shè)D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），四邊形ABCD′的面積為S，
則四邊形ABCD′的面積S=△BOC的面積+△OCD′的面積+△OAD′的面積
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×4×x+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+x+4）
=-x²+4x+12
=-（x-2）²+16，
∵-1＜0，
∴S有最大值，當(dāng)x=2時(shí)，S最大，
當(dāng)x=2時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=4，
∴D′坐標(biāo)為（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及最值問題；熟練掌握二次函數(shù)的運(yùn)用，求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．