Question

8．如圖，無論非零的a取何值，拋物線y=ax²+bx+c的頂點M都在直線y_AE=kx+1上（E、A分別在x軸、y軸上），且OA=OE．
（1）求k的值；
（2）求b、c的值；
（3）直線y_AB=mx+n和拋物線只有一個公共點，MB∥x軸，BC⊥x軸分別交拋物線、直線AE于C、D，試探索CD與BC間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）根據直線解析式可得點A的坐標為（0，1），則可得點E的坐標為（-1，0），代入直線解析式，可求出k的值．
（2）將頂點M的坐標代入直線解析式，再由無論a為何值（0除外），其頂點M一定在直線y=kx+1上，可得出b、c的值．
（3）根據拋物線與直線只有一個交點，求出m的值，繼而得出B、C、D的坐標，求出BC、CD的長度，即可得出CD和BC的數量關系．

解答 解：（1）∵直線解析式為y_AE=kx+1，
∴點A的坐標為（0，1），
又∵OA=OE
∴點E的坐標為（-1，0），
將點E的坐標代入直線解析式可得：0=-k+1，
解得：k=1；
（2）將頂點M的坐標（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）代入y=x+1得：$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-$\frac{2a}$+1．
整理得關于a的一元一次方程：（4c-4）a=b²-2b．
∵該方程有無數個解，
∴4c-4=0，且b²-2b=0．
∴c=1；
又∵b≠0，
∴b=2．
或：取a的兩個特殊值1、2，可求得點M的坐標分別為（-$\frac{2}$，$\frac{4c-^{2}}{4}$）、（-$\frac{4}$，$\frac{8c-^{2}}{8}$）．
把它們分別代入y=x+1并化簡得方程組$\left\{\begin{array}{l}{b^2}-2b=4c-4\\{b^2}-2b=8c-8.\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2（b≠0）}\\{c=1}\end{array}\right.$．
（3）由（2）知：拋物線的解析式為y=ax²+2x+1．
∴該拋物線經過點A．
由題意知：關于x的一元二次方程ax²+2x+1=mx+1即ax²+（2-m）x=0的△=0．
∴（2-m）²=0．
∴m=2．
∴直線AB的解析式為y=2x+1．
∵y_B=y_M=1-$\frac{1}{a}$，
把它代入y=2x+1可求得：x_B=-$\frac{1}{2a}$．
∵BC⊥x軸分別交拋物線、直線AE于C、D，
∴x_C=x_D=x_B=-$\frac{1}{2a}$．
把它們分別代入y=ax²+2x+1、y=x+1可求得：y_C=-$\frac{3}{4a}$+1，y_D=-$\frac{1}{2a}$+1．
∴CD=y_C-y_D=-$\frac{1}{4a}$，BC=y_B-y_C=-$\frac{1}{4a}$．
∴CD=BC．

點評 本題考查了二次函數的綜合題，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式、頂點坐標公式，拋物線與直線的交點問題的知識點，以及方程思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．