Question

11．探索：在圖1至圖3中，已知△ABC的面積為a，

（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積為S₁，則S₁=a（用含a的代數(shù)式表示）
（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S₂，則S₂=2a（用含a的代數(shù)式表示）
（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖3）．若陰影部分的面積為S₃，則S₃=6a（用含a的代數(shù)式表示）．
發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖3），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的7倍．
應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計(jì)：首先在△ABC的空地上種紅花，然后將△ABC向外擴(kuò)展三次（圖4已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案）．在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花．如果種紅花的區(qū)域（即△ABC）的面積是10平方米，請(qǐng)你運(yùn)用上述結(jié)論求出：
（1）種紫花的區(qū)域的面積；
（2）種藍(lán)花的區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 探索：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BD于H，如圖1，由于△ACD與△ABC底相等、高相同，因此它們的面積相等，問題得以解決；
（2）連接AD，如圖2，同（1）可求出△EAD的面積，就可解決問題；
（3）如圖3，同（2）可求出△EAF和△FBD的面積，問題得以解決；
發(fā)現(xiàn)：只需利用探索中的結(jié)果就可解決問題；
應(yīng)用：如圖4，（1）利用探索與發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論可得：種紫花的區(qū)域的面積等于△DEF面積的6倍，S_△DEF=7S_△ABC，根據(jù)條件S_△ABC=10平方米，就可解決問題；
（2）利用探索與發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論可得：種藍(lán)花的區(qū)域的面積等于△XYZ面積的6倍，S_△XYZ=7S_△DEF，只需把（1）所得S_△DEF代入，就可解決問題．

解答 解：探索：
（1）過點(diǎn)A作AH⊥BD于H，如圖1，
∵BC=CD，S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=a，S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•AH，
∴S₁=S_△ACD=S_△ABC=a．
故答案為a．
（2）連接AD，如圖2，
同理可得S_△EAD=S_△ACD=S_△ABC=a，
∴S₂=S_△ECD=a+a=2a．
故答案為2a．
（3）同（2）可得
S_△FBD=S_△EAF=S_△ECD=2a，
∴S₃=6a，
故答案為6a；
發(fā)現(xiàn)：
如圖3，
S_△DEF=S₃+S_△ABC=6a+a=7a=7S_△ABC，
故答案為7；
應(yīng)用：
如圖4，
（1）根據(jù)上述結(jié)論可得：
S_△DEF=7S_△ABC=7×10=70（平方米），
∴種紫花的區(qū)域的面積=6S_△DEF=6×70=420（平方米）；
（2）同理可得：
S_△XYZ=7S_△DEF=7×70=490（平方米），
種藍(lán)花的區(qū)域的面積=6S_△XYZ=6×490=2940（平方米）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的面積公式，另外還考查了歸納、探究的能力，運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，突出了對(duì)能力的考查．