Question

7．如圖所示，BC是半圓O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，AB弧長(zhǎng)等于AF弧長(zhǎng)，BF與AD、AO分別交于點(diǎn)E、G．
（1）證明：∠DAO=∠FBC；
（2）證明：AE=BE．

Answer 1

分析 （1）連CF，OF．由AB弧長(zhǎng)等于AF弧長(zhǎng)，O為圓心，根據(jù)垂徑定理的推論得出點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)，OG⊥BF．根據(jù)圓周角定理得出CF⊥BF，那么OG∥CF，∠AOB=∠FCB，根據(jù)等角的余角相等得出∠DAO=∠FBC；
（2）連CF，AC，AB．由在同圓中等弧對(duì)的圓周角相等得到∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，由同角的余角相等得到∠BAD=∠BCA，所以∠ABF=∠BAD，即BE=AE．

解答 證明：（1）連CF，OF．
∵AB弧長(zhǎng)等于AF弧長(zhǎng)，O為圓心，
∴點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)，OG⊥BF．
∵BC是半圓O的直徑，
∴CF⊥BF，
∴OG∥CF，
∴∠AOB=∠FCB，
∴∠DAO=90°-∠AOB，∠FBC=90°-∠FCB，
∴∠DAO=∠FBC；

（2）連CF，AC，AB，
∵AB弧長(zhǎng)等于AF弧長(zhǎng)，
∴∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，
∵BC為圓的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
又AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∴∠ABF=∠BAD，
即BE=AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，余角的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．