Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．

（1）求的值和的值以及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）觀察反比例函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；

（3）以為邊作菱形，使點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）在y軸上是否存在點(diǎn)，使的值最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）n=3，k=12，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）；（2）x≤﹣4或x＞0；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+，3）；（4）存在，P（0，1）．

【解析】

（1）把點(diǎn)A（4，n）代入一次函數(shù)中可求得n的值，從而求出一次函數(shù)的解析式，于是可得B的坐標(biāo)；再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中，可得到k的值；
（2）觀察反比例函數(shù)圖象即可得到當(dāng)y≥-3時(shí)，自變量x的取值范圍．

（3）先求出菱形的邊長(zhǎng)，然后利用平移的性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接AQ交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)的值最小，據(jù)此可解.

解：（1）把點(diǎn)A（4，n）代入一次函數(shù)y=x﹣3，

可得n=×4﹣3=3；

把點(diǎn)A（4，3）代入反比例函數(shù)，

可得3=，

解得：k=12．

∵一次函數(shù)y=x﹣3與x軸相交于點(diǎn)B，

∴x﹣3=0，

解得：x=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），

（2）當(dāng)y=﹣3時(shí)，，

解得：x=﹣4．

故當(dāng)y≥﹣3時(shí)，自變量x的取值范圍是x≤﹣4或x＞0．

（3）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，

∵A（4，3），B（2，0），

∴OE=4，AE=3，OB=2，

∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，

在Rt△ABE中，

AB==．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD =AB=，AD∥BC，

∴點(diǎn)A（4，3）向右平移個(gè)單位到點(diǎn)D,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+，3）．

（4）存在.

如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接AQ交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)的值最小.

設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+b,

∵點(diǎn)B（2，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，0），

∴,

∴，

∴直線AQ的關(guān)系式為，

∴直線AQ與y軸的交點(diǎn)為P（0，1）．

∴在y 軸上存在點(diǎn)P（0，1），使的值最小.