Question

【題目】如圖，AB與⊙O相切于點B，BC為⊙O的弦，OC⊥OA，OA與BC相交于點P．

（1）求證：AP=AB；

（2）若OB=4，AB=3，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）

【解析】

（1）欲證明AP=AB，只要證明∠APB=∠ABP即可；
（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解決問題．

（1）證明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABP+∠OBC=90°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOC=90°，
∴∠OCB+∠CPO=90°，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠APB=∠ABP，
∴AP=AB．

（2）解：作OH⊥BC于H．

在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，
∴OA==5，

∵AP=AB=3，
∴PO=2．
在Rt△POC中，PC==2,

∵PCOH=OCOP，
∴OH==,

∴CH==,

∵OH⊥BC，
∴CH=BH，
∴BC=2CH=,

∴PB=BC-PC=-2=.