Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=AD=a，∠C=60°，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)D移動(dòng)，以點(diǎn)E為圓心，半徑為1作圓，記⊙E到AB的距離為d．
（1）若a=2，當(dāng)d為何值時(shí)，⊙E與AD相切？
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，⊙E在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)與AB、AD同時(shí)相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC中點(diǎn)為F，連接AF，DF，設(shè)AF與BD交點(diǎn)為G，則AF，BD為菱形ABFD的對(duì)角線，AF垂直BD，∠ADB=∠ABD=30度，由三角函數(shù)求出d；
（2）當(dāng)圓E與AB，AD同時(shí)相切時(shí)，E點(diǎn)與G點(diǎn)重合且EM=1，利用三角函數(shù)求得DE和AD，進(jìn)而求出a．
解答：解：取BC中點(diǎn)為F，連接AF，DF，設(shè)AF與BD交點(diǎn)為G，AF，BD為菱形ABFD的對(duì)角線，AF垂直BD，∠ADB=∠ABD=30°，
（1）若a=2，AG=AD•sin30°=1，
當(dāng)圓E與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，即EM=1=AD，
此時(shí)ED=AD=2，BE=BD-ED=2×2cos30°-2=2-2，
E到AB距離為BEsin30°=（2-2）=-1；

（2）當(dāng)圓E與AB，AD同時(shí)相切時(shí)，E點(diǎn)與G點(diǎn)重合且EM=1，
則DE=1÷sin30°=2，
AD=DE÷cos30°=2÷=，
即a=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和直線和圓的位置關(guān)系，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．