Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在直線AB上，當(dāng)P，Q關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）；（3）滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）或（2﹣2，1+）或（2+2，1﹣）或（﹣2+2，3﹣）或（﹣2﹣2，3+）．

【解析】

（1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的作標(biāo)為（x，y），則P點(diǎn)坐標(biāo)是（-x，-y）．利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）分OB為邊和為對角線兩種情況進(jìn)行求解：①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時(shí)，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②當(dāng)OB為對角線時(shí)，OB與MN互相平分，交點(diǎn)為H，設(shè)出M，N坐標(biāo)用OH=BH，MH=NH，建立方程組求解即可．

解：（1）∵與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴A（4，0），B（0，2）．

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)點(diǎn)Q的作標(biāo)為（x，y），則P點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣x，﹣y），

∴，

解得：，；

∴．

（3））①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時(shí)，MN＝OB＝2，MN∥OB，

∵點(diǎn)M在直線AB上，點(diǎn)N為拋物線上，

∴設(shè)M（m，﹣m+2），

∴N（m，﹣m2+m+2），

∴MN＝|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝|﹣m2+2m|＝2，

當(dāng)﹣m2+2m＝2，

解得，m＝2，

∴M（2，1），

當(dāng)﹣m2+2m＝2，

解得，m＝2，

∴M（2﹣2），M（2+2，1﹣），

②當(dāng)OB為對角線時(shí)，OB與MN互相平分，交點(diǎn)為H，

∴OH＝BH，MH＝NH，

∵B（0，2），O（0，0），

∴H（0，1），

設(shè)M（n，﹣），N（d，），

∴，

解得或，

∴M（﹣2+2，3﹣），M（﹣2﹣2，3+），

即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）或（2﹣2，1+）或（2+2，1﹣）或（﹣2+2，3﹣）或（﹣2﹣2，3+）．