Question

在矩形ABCD中，，點G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點E為AB邊上的一個動點，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．

（1）如圖1，當DH=DA時，

①填空：∠HGA= 度；

②若EF∥HG，求∠AHE的度數(shù)，并求此時a的最小值；

（2）如圖3，∠AEH=60°，EG=2BG，連接FG，交邊FG，交邊DC于點P，且FG⊥AB，G為垂足，求a的值．

 

 

Answer 1

（1）①45；②當∠AHE為銳角時，∠AHE=22.5°時，a的最小值是２；當∠AHE為鈍角時，∠AHE=112.5°時，a的最小值是；（2）.

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件得出∠HAE=45°，再根據(jù)HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，從而得出答案解決：

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADH=90°．

∵DH=DA，∴∠DAH=∠DHA=45°．∴∠HAE=45°．

∵HA=HG，∴∠HAE=∠HGA=45°

②分∠AHE為銳角和鈍角兩種情況討論即可.

（2）過點H作HQ⊥AB于Q，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，得出四邊形DAQH為矩形，設AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，由折疊的性質(zhì)可知∠AEH=∠FEH=60°，得出∠FEG=60°，在Rt△EFG中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出EG和EQ的值，再由折疊的性質(zhì)得出AE=EF，求出y關于x的表達式，從而求出AB=2AQ+GB，即可根據(jù)比值消去參數(shù)x得出a的值．

試題解析：【解析】
（1）①45．

②分兩種情況討論：

第一種情況：如答圖１，∠AHE為銳角時，

∵∠HAG=∠HGA=45°，∴∠AHG=90°．

由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，

∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°．

∴∠AHF=∠AHG∠FHG=45°，即∠AHE+∠FHE=45°．

∴∠AHE=22.5°．

此時，當B與G重合時，a的值最小，最小值是2．

第二種情況：如答圖２，∠AHE為鈍角時，

∵EF∥HG，∴∠HGA=∠FEA=45°，即∠AEH+∠FEH=45°．

由折疊可知：∠AEH=∠FEH，∴∠AEH=∠FEH=22.5°．

∵EF∥HG，∴∠GHE=∠FEH=22.5°．

∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°．

此時，當B與E重合時，a的值最小，

設DH=DA=x，則AH=CH=x，

在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：AG=AH=2x，

∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，∴∠AEH=∠GHE．∴GH=GE=x．

∴AB=AE=2x+x．

∴a的最小值是．

綜上所述，當∠AHE為銳角時，∠AHE=22.5°時，a的最小值是２；當∠AHE為鈍角時，∠AHE=112.5°時，a的最小值是．

（2）如答圖３：過點H作HQ⊥AB于Q，則∠AQH=∠GOH=90°，

在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，

∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°．

∴四邊形DAQH為矩形．∴AD=HQ．

設AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，

由折疊可知：∠AEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=60°．

在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°＝4y×，

在Rt△HQE中，，

∴．

∵HA=HG，HQ⊥AB，∴AQ=GQ=．

∴AE=AQ+QE= ．

由折疊可知：AE=EF，即，即．

∴AB=2AQ+GB=．

∴．

考點：1.四邊形綜合題；2.單動點和折疊問題；3.矩形的判定和性質(zhì)；4.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；5.折疊對稱的性質(zhì)；6.勾股定理；7. 銳角三角函數(shù)定義；8.特殊角的三角函數(shù)值；9.分類思想和消參的待定系數(shù)法應用．