Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是直徑，AD是高交⊙O于F，連接BE、CF，下列結(jié)論正確的有幾個(gè)？
①BE=CF；②AB•AC=AD•AE；③AD•DF=BD•CD；④AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

D
分析：由△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是直徑，AD是高，易證得△ABE∽△ADC，△ABD∽△CFD，然后由相似三角形的性質(zhì)，證得①②③正確，又由勾股定理，即可證得④正確．
解答：∵AE是直徑，
∴∠ABE=90°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE=∠CAF，AB：AD=AE：AC，
∴=，AB•AC=AD•AE；
∴BE=CF，
故①②正確；
∵∠ABC=∠AFC，∠BAF=∠BCF，
∴△ABD∽△CFD，
∴AD：CD=BD：DF，
∴AD•DF=BD•CD；
故③正確；
∵在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
在Rt△CDF中，F(xiàn)D²+CD²=CF²，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
∵BE=CF，
∴AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．
故④正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．