Question

10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，且AE=$\frac{1}{2}$BD，DF⊥AB于F．求證：CD=DF．

Answer 1

分析 延長AE、BC交于點(diǎn)F．根據(jù)同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；由ASA證明△BCD≌△ACF，得出AF=BD，AE=$\frac{1}{2}$AF，由線段垂直平分線的性質(zhì)DCAB=BF，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得出BD是∠ABC的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．

解答 證明：延長AE、BC交于點(diǎn)F．如圖所示：
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，
又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCD=90°}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠FAC=∠DBC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AF，即點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分線，
∵∠C=90°，DF⊥AB于F，
∴CD=DF．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．