Question

AE是△ABC的角平分線，D是AB上一點，∠ACD=∠B，CD和AE交于點F，過點F作FG∥BC交AB于點G，連接EG．
（1）判斷四邊形CEGF是什么四邊形，說明理由；
（2）如果△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，求△ABC和四邊形CEGF的面積的比．

Answer 1

（1）四邊形CEGF為菱形．
證明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠GAF，
∵FG∥BC，
∴∠B=∠AGF，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACF=∠AGF，
∴在△AFC和△AFG中，
，
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴CF=GF，∠CFA=∠GFA，
∴∠CFE=∠GFE，
∵在△CFE和△GFE中，
，
∴△CFE≌△GFE（SAS），
∴∠FCE=∠FGE，∠CFE=∠GFE，∠CEF=∠GEF，
∴∠CFG=∠CEG，
∴四邊形CFGE為平行四邊形，
∵CF=FG，
∴四邊形CEGF為菱形．

（2）解：作GH⊥BC于點H，
∴S_△GEB=BE•GH•，S_菱形CFGE=CE•GH，
∵△ABC∽△GEB，且相似比為2：1，
∴BE：AB=1：2，
∴S_△ABC：S_△GEB=4：1，
∴S_△ABC=4S_△GEB=4•BE•GH•=2BE•GH，
設BE=a，CE=EG=b，則a＞b，
∵△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，
∴===，
∴AB=2a，AC=2b=AG，BC=BE+EC=a+b，
∴BG=2a-2b，
∴=
∴5b-3a=0，即a=b，即BE=b，
∴====
∴△ABC和四邊形CEGF的面積的比為10：3．
分析：（1）通過求證△AFC和△AFG，推出∠CFE=∠GFE，CF=GF，再通過求證△CFE≌△GFE，推出∠FCE=∠FGE，∠CFG=∠CEG，依據(jù)平行四邊形的判定定理即可得四邊形CFGE為平行四邊形，由CF=FG，即可推出四邊形CEGF為菱形．
（2）作GH⊥BC于點H，即可推出S_△GEB和S_菱形CFGE，再通過△ABC和△GEB的相似比推出其面積比，CE：GB=1：2，即可得S_△ABC=4S_△GEB=4•BE•GH•=2BE•GH，然后，即可推出△ABC和菱形CEGF的面積的比為10：3．
點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質、相似三角形的性質、菱形的判定定理、平行的相關性質等知識點，關鍵在于熟練正確地運用各性質定理，正確地作出輔助線，認真的表示出有關圖形的面積．