Question

（2009•三明）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，將∠DCB繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊CD和CB與x軸分別交于點(diǎn)P、Q，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°）．
①當(dāng)α等于多少度時(shí)，△CPQ是等腰三角形？
②設(shè)BP=t，AQ=s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線過A，B兩點(diǎn)，可將A，B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．然后可根據(jù)拋物線的解析式得出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）①本題要分三種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)CQ=CP時(shí)，∠PCD=∠QCD=22.5°，因此旋轉(zhuǎn)角α=22.5°；
當(dāng)CQ=QP時(shí)，∠CPQ=∠PCQ=45°，因此P，A重合．旋轉(zhuǎn)角為45°；
當(dāng)CP=QP時(shí)，∠CQP=∠PCQ=45°，因此旋轉(zhuǎn)角α=0°，根據(jù)α的取值范圍可知此種情況是不成立的．由此可得出旋轉(zhuǎn)角為22.5°或45°時(shí)，△CPQ是等腰三角形．
②本題可根據(jù)相似三角形來求．分兩種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，由于∠A=∠B=45°，∠ACQ和∠BPC都是45°加上一個(gè)相同的角，因此△ACQ∽△BPC，即可通過相似三角形得出關(guān)于BP，AQ，AC，BC的比例關(guān)系式，由于AC，BC的值可通過A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)來求出，由此可得出s，t的函數(shù)關(guān)系式．
當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，與一的求法完全相同．
解答：解：（1）根據(jù)題意，得，
解得，
∴y=-x²+3x-=-（x-3）²+2，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）．

（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，
∴∠DCB=∠CBD=45度．
若CQ=CP，則∠PCD=∠PCQ=22.5度．
∴當(dāng)α=22.5°時(shí)，△CPQ是等腰三角形．
ⅱ）若CQ=PQ，則∠CPQ=∠PCQ=45°，
此時(shí)點(diǎn)Q與D重合，點(diǎn)P與A重合．
∴當(dāng)α=45°時(shí)，
△CPQ是等腰三角形．
若PC=PQ，∠PCQ=∠PQC=45°，此時(shí)點(diǎn)Q與B重合，點(diǎn)P與D重合．
∴α=0°，不合題意．
∴當(dāng)α=22.5°或45°時(shí)，△CPQ是等腰三角形．

②連接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CAD=45°，AC=BC=
當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，
∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45度．
∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45度．
∴∠ACQ=∠BPC．
又∵∠CAQ=∠PBC=45°，
∴△ACQ∽△BPC．
∴．
∴AQ•BP=AC•BC=×=8
當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，同理可得AQ•BP=AC•BC=8，
∴．
點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形相似、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．