Question

16．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，把△BAE沿直線BE折疊，恰好使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的對(duì)角線上，則△EBD的面積S=$\frac{15}{4}$或$\frac{21}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求得BD，當(dāng)F在BD上時(shí)，設(shè)AE=x，由翻折的性質(zhì)得：EF=AE=x，BF=AB=3，則由勾股定理求得AE，進(jìn)而求得ED，由三角形的面積公式可求得結(jié)論；
（2）當(dāng)F在AC上時(shí)，由射影定理求得AG，進(jìn)而求得GC，由三角形的判定定理證得△AEG∽△CBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AE，進(jìn)而求得ED，由三角形的面積公式可求得結(jié)論．

解答 解：∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
當(dāng)F在BD上時(shí)，如圖1，設(shè)AE=x，
由翻折的性質(zhì)得：EF=AE=x，BF=AB=3，
∴ED=4-x，∠EFD=∠A=90°，
∴FD=5-2=2，ED=4-x，
在Rt△EFD中，
x²+2²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，∴ED=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴△EBD的面積S=$\frac{1}{2}$ED•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×3=$\frac{15}{4}$；

當(dāng)F在AC上時(shí)，如圖2，由翻折的性質(zhì)得：BD垂直平分AF，AC=BD=5，
由射影定理得：AB²=AG•AC，
∴AG=$\frac{A{B}^{2}}{AC}$=$\frac{9}{5}$，
∴GC=AC-AG=$\frac{16}{5}$，
∵AD∥BC，
∴∠EAG=∠ACB，
∵∠EGA=∠ABC=90°，
∴△AEG∽△CBG，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AG}{GC}$，
∴$\frac{AE}{4}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{16}{5}}$，
∴AE=$\frac{9}{4}$，
∴ED=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴△EBD的面積S=$\frac{1}{2}$ED•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$×3=$\frac{21}{8}$，
故答案為：$\frac{15}{4}$或$\frac{21}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，射影定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形，方程等知識(shí)，正確作出輔助線，利用勾股定理構(gòu)造方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．