Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知M₁（3，2），N₁（5，﹣1），線段M₁N₁平移至線段MN處（注：M₁與M，N₁與N分別為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．

（1）若M（﹣2，5），請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）在（1）問(wèn)的條件下，點(diǎn)N在拋物線上，求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．

（3）在（2）問(wèn)條件下，若拋物線頂點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)C（0，m）是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，線段EC與線段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．

（4）在（3）問(wèn)條件下，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)（即BP長(zhǎng)為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時(shí)的△ABP面積的，求此時(shí)BP的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題．

專題：

綜合題．

分析：

（1）首先根據(jù)點(diǎn)M的移動(dòng)方向和單位得到點(diǎn)N的平移方向和單位，然后按照平移方向和單位進(jìn)行移動(dòng)即可；

（2）將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式即可求得k值；

（3）配方后確定點(diǎn)B、A、E的坐標(biāo)，根據(jù)CO：OF=2：用m表示出線段CO、FO和BF的長(zhǎng)，利用S_△BEC=S_△EBF+S_△BFC=得到有關(guān)m的方程求得m的值即可；

（4）分當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)、當(dāng)∠BPE=∠APE時(shí)、當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)三種情況分類討論即可．

解答：

解：（1）由于圖形平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平移規(guī)律相同，

由點(diǎn)M到點(diǎn)M′可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)減5，縱坐標(biāo)加3，

故點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．

N（0，2）；

（2）∵N（0，2）在拋物線y=x²+x+k上

∴k=2

∴拋物線的解析式為y=x²+x+2    

（3）∵y=x²+x+2=（x+2）²

∴B（﹣2，0）、A（0，2）、E（﹣，1）

∵CO：OF=2：

∴CO=﹣m，F(xiàn)O=﹣m，BF=2+m

∵S_△BEC=S_△EBF+S_△BFC=

∴（2+m）（﹣m+1）=

整理得：m²+m=0

∴m=﹣1或0                       

∵m＜0

∴m=﹣1                  

（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===

∴∠ABO=30°，AB=2AO=4

①當(dāng)∠BPE＞∠APE時(shí)，連接A₁B則對(duì)折后如圖2，A₁為對(duì)折后A的所落點(diǎn)，△EHP是重疊部分．

∵E為AB中點(diǎn)，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP

∵S_△EHP=S_△ABP

∴=S_△EHP=S_△BHP=S_△ABP

∴A₁H=HP，EH=HB=1

∴四邊形A₁BPE為平行四邊形

∴BP=A₁E=AE=2

即BP=2                                                    

②當(dāng)∠BPE=∠APE時(shí)，重疊部分面積為△ABP面積的一半，不符合題意；

③當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)．

則對(duì)折后如圖3，A₁為對(duì)折后A的所落點(diǎn)．△EHP是重疊部分

∵E為AB中點(diǎn)，

∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP

∵S_△EHP=S_△ABP∴S_△EBH=S_△EHP=₌S_△ABP

∴BH=HP，EH=HA₁=1

又∵BE=EA=2

∴EHAP，

∴AP=2

在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．

∴∠APB=90°，

∴BP=，

綜合①②③知：BP=2或；

點(diǎn)評(píng)：

此題主要考查了點(diǎn)的平移、二次函數(shù)解析式的確定，圖形折疊問(wèn)題及圖形面積等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．