Question

如圖1，l₁，l₂，l₃，l₄是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上．過點A作AF⊥l₃于點F，交l₂于點H，過點C作CE⊥l₂于點E，交l₃于點G．

（1）求證：△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面積；

（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h₁，h₂，h₃，試用h₁，h₂，h₃

表示正方形ABCD的面積S．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，

∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。

（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。

同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。

∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}=4××2×1+1+1=5。

（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h₁=h₃，

由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，

∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}=4×（h₁+h₂）•h₁+h₂²=2h₁²+2h₁h₂+h₂²．

【解析】全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線之間的距離，正方形的性質(zhì)。

【分析】（1）直接根據(jù)HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。

（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根據(jù)S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}即可得出結(jié)論。

（3）由△AFD≌△CEB可得出h₁=h₃，再根據(jù)（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知

S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}，從而得出結(jié)論。