Question

如圖，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以點(diǎn)B為圓心，線段BC長(zhǎng)為半徑的弧交邊AC于點(diǎn)D，且∠DBC=∠BAC，P是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BP，交線段BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．設(shè)CP=x，DQ=y．

（1）求CD的長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)∠DAQ=2∠BAC時(shí)，求CP的值．

Answer 1

解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC．

∴．

∵，，∴．

（2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．

∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．

∴∠ABC=∠ACB．

∴AC=AB=4．作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．

∴BH=CH=1．

作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，可得DE∥AH．

∴，即．

∴，．

又∵DE∥PQ，∴，即．

整理，得．

定義域?yàn)?i>x>0．

（3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，

∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．

∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠DQA．

∴AQ=AB=4．

作AF⊥BQ，垂足為點(diǎn)F，可得，．

∴．

解得．

∴．

解得，即．