Question

如圖①，兩個全等的等腰直角△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，點A與點E重合，點D與點B重合．現(xiàn)△ABC不動，把△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．
（1）如圖②，AB與CE交于F，ED與AB、BC分別交于M、H．求證：CF=CH；
（2）如圖③，當(dāng)α=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形，并說明理由；
（3）如圖②，在△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中，連接BD，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為

 

時，△BDH是等腰三角形．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)兩個全等的等腰直角△ABC和△EDC得到∠A=∠B=∠E=∠D=45°，CA=CB=CE=CD，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA=CD，∠A=∠D，∠ACE=∠BCD=α，可證明△CAF≌△CDH，所以CF=CH；   
（2）由于∠ACE=∠BCD=45°，∠A=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AFC=90°，而∠FCD=90°，根據(jù)平行線的判定可得到AB∥CD，
同理可得AC∥DE，則可判斷四邊形ACDM是平行四邊形，加上CA=CD，于是可判斷四邊形ACDM是菱形；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB=CD，∠BCD=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得∠CBD=∠CDB=

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（180°-α），則∠HBD＞∠BDH，則當(dāng)DB=DH或BH=BD時，△BDH是等腰三角形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°，當(dāng)DB=DH，則∠HBD=∠BHD，即

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（180°-α）=α+45°，解得α=30°； 當(dāng)BH=BD，則∠BHD=∠BDH，即α+45°=

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（180°-α）-45°，解得α=0（舍去），所以α=30°．

解答：（1）證明：∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°，CA=CB=CE=CD，
∵△ABC不動，把△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，
∴CA=CD，∠A=∠D，∠ACE=∠BCD=α，
在△CAF和△CDH中

∠A=∠D CA=CD ∠ACF=∠DCH

，
∴△CAF≌△CDH，
∴CF=CH；   
（2）解：四邊形ACDM是菱形．理由如下：
∵∠ACE=∠BCD=45°，
而∠A=45°，
∴∠AFC=90°，
而∠FCD=90°，
∴AB∥CD，
同理可得AC∥DE，
∴四邊形ACDM是平行四邊形，
而CA=CD，
∴四邊形ACDM是菱形；
（3）解：∵CB=CD，∠BCD=α，
∴∠CBD=∠CDB=

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（180°-α），
∴∠HBD＞∠BDH，
∴當(dāng)DB=DH或BH=BD時，△BDH是等腰三角形，
∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°，
當(dāng)DB=DH，則∠HBD=∠BHD，即

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（180°-α）=α+45°，解得α=30°；
當(dāng)BH=BD，則∠BHD=∠BDH，即α+45°=

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（180°-α）-45°，解得α=0（舍去），
∴α=30°，
即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為30°時，△BDH是等腰三角形．
故答案為30°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和等腰三角形的性質(zhì)．