Question

小強在一次投籃訓練中，從距地面高1.55米處的O點投出一球向籃圈中心A點投去，球的飛行路線為拋物線，當球達到離地面最大高度3.55米時，球移動的水平距離為2米．現以O點為坐標原點，建立直角坐標系（如圖所示），測得OA與水平方向OC的夾角為30°，A、C兩點相距1.5米．
（1）求點A的坐標；
（2）求籃球飛行路線所在拋物線的解析式；
（3）判斷小強這一投能否把球從O點直接投入籃圈A點（排除籃板球），如果能，請說明理由；如果不能，那么前后移動多少米，就能使剛才那一投直接命中籃圈A點了．（結果可保留根號）

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的邊角關系得到OC的長，可以確定點A的坐標．（2）根據球到達的最大高度和移動的水平距離確定拋物線的頂點坐標，設出拋物線的頂點式，然后把O（0，0）代入頂點式，求出拋物線的解析式．（3）把點A的坐標代入拋物線的解析式，發(fā)現拋物線的兩邊不等，說明點A不在拋物線上，那么小強不能從O點把球投入．把y=1.5代入拋物線求出x的值，得到小強后退的距離．

解答：解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30°，AC=1.5
∴OC=AC•cot30°=1.5×

3

=

3

2

3

，
∴點A的坐標為（

3

2

3

，1.5）；

（2）∵頂點B的縱坐標：3.55-1.55=2，
∴B（2，2），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+2
把點O（0，0）坐標代入得：0=a（0-2）²+2，
解得a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

(x-2)2+2，
即y=-

1

2

x2+2x；

（3）①∵當x=

3

2

3

時，y≠1.5，
∴小強這一投不能把球從O點直接投入球籃；
②當y=1.5時，1.5=-

1

2

(x-2)2+2，
解得x₁=1（舍），x₂=3，
又∵3＞

3

2

3

，
∴小強只需向后退（3-

3

2

3

）米，就能使剛才那一投直接命中球籃A點了．

點評：本題考查的是二次函數的應用，（1）利用直角三角形求出點A的坐標．（2）根據頂點式求出拋物線的解析式．（3）先判斷點A不在拋物線上，然后求出小強后退的距離．